Wahrscheinlichkeitsraum

Modellierung eines Glücksrads durch einen Wahrscheinlichkeitsraum: Die Menge der möglichen Ergebnisse ist hier Ω = {1,2,3}. Allen Teilmengen von Ω werden ihre Wahrscheinlichkeiten proportional zu ihrem Anteil an der Gesamtfläche des Rades zugeordnet.

Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein grundlegender Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es handelt sich um ein mathematisches Modell zur Beschreibung von Zufallsexperimenten. Hierbei werden die verschiedenen möglichen Ausgänge des Experiments zu einer Menge zusammengefasst, deren Teilmengen man Zahlen zwischen 0 und 1 zuordnet, die als Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden.

Der Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums wurde in den 1930er Jahren durch den russischen Mathematiker Andrei Kolmogorow eingeführt, dem damit die Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelang (siehe auch: Kolmogorow-Axiome).

Definition

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum $(\Omega,\Sigma,P)$, dessen Maß $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Im Einzelnen bedeutet das:

• $\Omega$ ist eine beliebige nichtleere Menge, genannt die Ergebnismenge. Ihre Elemente heißen Ergebnisse.
• $\Sigma$ ist eine σ-Algebra über der Grundmenge $\Omega$, also eine Menge bestehend aus Teilmengen von $\Omega$, die $\Omega$ enthält und abgeschlossen gegenüber der Bildung von Komplementen und abzählbaren Vereinigungen ist. Die Elemente von $\Sigma$ heißen Ereignisse. Die σ-Algebra $\Sigma$ selbst wird auch Ereignisalgebra oder Ereignisfeld genannt.
• $P \colon \Sigma \to [0,1]$ ist ein Maß mit $P(\Omega) = 1$, also eine Funktion, die den Ereignissen Zahlen zuordnet, derart dass $P(\emptyset) = 0$ und $P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots$ für paarweise disjunkte Ereignisse $A_1, A_2, \dotsc$ gilt.

Der Messraum $(\Omega, \Sigma)$ wird auch Ereignisraum genannt. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist also ein Ereignisraum, auf dem zusätzlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben ist.

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 7. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0423-5.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.