Ergodentheorie

Ergodizität ist ein Begriff innerhalb des mathematischen Teilgebiets der Stochastik. Die Statistik eines Prozesses wird von einer Musterfunktion beschrieben.

Vorbereitungen

Beispiel einer (Lebesgue-) maßerhaltenden Abbildung: $T\colon [0,1)\rightarrow [0,1)$ mit $x \mapsto 2x \mod 1$.

Man nennt zu einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal A, P)$ eine messbare Abbildung T maßerhaltend, falls das Bildmaß von P unter T wieder P ist, d. h. $P(T^{-1}(A)) = P(A)$ für alle Mengen A aus der σ-Algebra $\mathcal A$. Weiterhin heißt eine Menge A T-invariant, falls $T^{-1}(A) = A$.

Definition

Eine maßerhaltende Transformation heißt nun ergodisch, falls für alle T-invarianten Mengen A gilt, dass $P(A) \in \{0;1\}$.

Anwendungen

Mathematisch gesehen stellt der Birkhoffsche Ergodensatz für ergodische Maßtransformationen eine Variante des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar. Dabei können durchaus auch abhängige Zufallsvariablen betrachtet werden.

Ergodizität in der Zeitreihenanalyse

Für die statistische Inferenz mit Zeitreihen müssen Annahmen getroffen werden, da in der Praxis meist nur eine Realisation des die Zeitreihe generierenden Prozesses vorliegt. Die Annahme der Ergodizität bedeutet, dass Stichprobenmomente, die aus einer endlichen Zeitreihe gewonnen werden für $T\rightarrow \infty$ quasi gegen die Momente der Grundgesamtheit konvergieren. Für $\operatorname{E}[x_t]=\mu$ und $\operatorname{V}[x_t]= \sigma^2$ konstant:
mittelwertergodisch: $\lim_{T \rightarrow \infty}\operatorname{E}\left[\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}x_t-\mu\right)^2\right] = 0$

varianzergodisch:$\lim_{T \rightarrow \infty}\operatorname{E}\left[\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_t-\mu)^2-\sigma^2\right)^2\right] = 0$
Diese Eigenschaften bei abhängigen Zufallsvariablen lassen sich nicht empirisch nachweisen und müssen daher unterstellt werden. Damit ein stochastischer Prozess ergodisch sein kann, muss er sich in einem statistischem Gleichgewicht befinden, d.h. er muss stationär sein.

Ergodizität in der Ergodenhypothese

Ein statistisches System wählt aus einem definierten Zahlenraum Zufallszahlen aus. Das System erreicht dabei den ganzen verfügbaren Zahlenraum und die Wahrscheinlichkeit jeder Zahl, aufzutreten, ist gleich groß.

Siehe auch

• Ergodenhypothese
• Ergodensatz

Literatur

Historisch

• G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656-660.
• J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
• J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263-266.
• E. Hopf, Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, (1939) Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. 91, p.261-304.
• S. V. Fomin and I. M. Gelfand, Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature, (1952) Uspehi Mat. Nauk 7 no. 1. p. 118-137.
• F. I. Mautner, Geodesic flows on symmetric Riemann spaces, (1957) Ann. of Math. 65 p. 416-431.
• C. C. Moore, Ergodicity of flows on homogeneous spaces, (1966) Amer. J. Math. 88, p.154-178.

Modern

• D.V. Anosov: Ergodic theory, metric theory of dynamical systems, Springer
• Wladimir Igorewitsch Arnold and André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics. New York: W.A. Benjamin. 1968.
• Leo Breiman, Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3. (See Chapter 6.)
• Peter Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, New York, 1982, ISBN 0-387-95152-0.
•  Tim Bedford, Michael Keane, Caroline Series (Hrsg.): Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces. Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853390-X. (A survey of topics in ergodic theory; with exercises.)
• Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis, (1993) appearing in Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, eds., Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. (An extensive survey of the ergodic properties of generalizations of the equidistribution theorem of shift maps on the unit interval. Focuses on methods developed by Bourgain.)