Ersetzungsaxiom

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Das Ersetzungsaxiom ist ein Axiom, das Abraham Fraenkel 1921 als Ergänzung zur Zermelo-Mengenlehre von 1907 vorschlug und später ein fester Bestandteil der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF wurde.[1] Es besagt informell, dass die Bilder von Mengen ebenfalls Mengen sind. In der prädikatenlogischen Sprache wird das Ersetzungsaxiom präzisiert als Axiomenschema, das unendlich viele Axiome umfasst. Daher wird es heute auch oft als Ersetzungsschema bezeichnet.

Präzisierung[Bearbeiten]

Ersetzungsaxiom für jedes Prädikat E(x,y), in dem die Variable M nicht vorkommt:

\forall x,y,z\colon (E(x,y) \and E(x,z) \Rightarrow y=z) \Rightarrow \forall A\colon \exist M\colon \forall y\colon (y\in M \iff \exist x\colon (x\in A \and E(x, y)))

Die Bedingung im Axiom besagt, dass das zweistellige Prädikat E(x,y) rechtseindeutig (funktional) ist, das heißt zu jedem x gibt es höchstens ein y mit E(x,y). Die im Ersetzungsaxiom gebildete Menge ist aufgrund des Extensionalitätsaxioms eindeutig bestimmt und wird als \{y \mid \exist x\in A: E(x,y)\} notiert.

Bedeutung[Bearbeiten]

Das Ersetzungsaxiom füllt eine Lücke der Zermelo-Mengenlehre. Fraenkel entdeckte nämlich 1921, dass man mit Zermelos Axiomen gewisse abzählbare Mengen der Mengenlehre von Georg Cantor nicht konstruieren kann, und ergänzte daher sein Axiom[1], mit der jede abgebildete Menge und insbesondere jede Abzählung durch die Menge der natürlichen Zahlen eine Menge wird. Dieselbe Lücke benannte ein Jahr später auch Thoralf Skolem und gab eine präzisere Formalisierung dazu an.[2] Dieses Axiom integrierte Zermelo 1930 in sein ZF-System und bemerkte dazu, dass aus dem Ersetzungsaxiom das Aussonderungsaxiom und das Paarmengenaxiom ableitbar sind,[3][4][5] so dass diese älteren Axiome der Zermelo-Mengenlehre im ZF-System entbehrlich werden.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Abraham Fraenkel: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. (1921). In: Mathematische Annalen. Bd. 86, 1922, S. 230–237.
  2. Thoralf Skolem: Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre. In: Wissenschaftliche Vorträge, gehalten auf dem 5. Kongress der skandinavischen Mathematiker in Helsingfors vom 4. bis 7. Juli 1922. 1923, ZDB-ID 771194-3, S. 217–232.
  3. Ernst Zermelo: Grenzzahlen und Mengenbereiche, Fundamenta Mathematicae 16 (1930), Bemerkung S. 31
  4. Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen I, , Mannheim, Wien, Zürich, 1978, S. 62.
  5. Wolfgang Rautenberg: Grundkurs Mengenlehre, Fassung Berlin 2008, S.26 (PDF; 1,0 MB)