Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)

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Bei der Fluchtgeschwindigkeit reicht die kinetische Energie eines Probekörpers (z.B. einer Rakete) gerade aus, um dem Gravitationspotential eines Himmelskörpers ohne weitere Antrieb (ballistisch) zu entkommen. Tabellierte Werte beziehen sich meist auf die Oberfläche von Himmelskörpern als Ausgangspunkt. Nicht berücksichtigt werden ggf. Luftreibung, der Geschwindigkeitsbeitrag durch die Rotation des Körpers und Beiträge anderer Himmelskörper zum Gravitationspotential. Die Fluchtgeschwindigkeit hängt nach dem Schalentheorem für einen kugelsymmetrischen Körper lediglich von dessen Masse und Radius ab.

Die Fluchtgeschwindigkeit von der Erde heißt auch zweite kosmische Geschwindigkeit – die erste ist die Kreisbahngeschwindigkeit im niedrigen Orbit. Der Begriff kosmische Geschwindigkeit mit der Bedeutung sehr großer Geschwindigkeit entstand in der Mitte des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit Meteoren.[1] Zur Zeit des Wettlaufs zum Mond wurden die kosmischen Geschwindigkeiten gelegentlich auch astronautisch genannt.

Erste kosmische Geschwindigkeit oder Kreisbahngeschwindigkeit[Bearbeiten]

Ein Satellit mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit beschreibt eine Kreisbahn entlang der Erdoberfläche, Bahn C. Eine größere Geschwindigkeit bewirkt eine ellipsenförmige Bahn (D). Ein Start mit der 2. kosmischen Geschwindigkeit ergibt die Parabelbahn E.

Wenn sich ein Körper mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit Radius r um das Zentrum der Erde (oder eines anderen Himmelskörpers) bewegt, beträgt seine Zentripetalbeschleunigung \frac{v^2}{r}. Im freien Fall wird sie ausschließlich von der Gravitation des Planeten verursacht, also

\frac{v^2}{r} = \frac{G M}{r^2}.

Dabei ist G die Gravitationskonstante und M die Masse des Planeten. Die Kreisbahngeschwindigkeit ergibt sich durch Umstellen der obigen Gleichung zu

v = \sqrt{\frac{G M}{r}}.

Für die Erde ist GM 3,986·1014 m3/s2 und der mittlere Radius 6371 km. Damit ergibt sich die erste kosmische Geschwindigkeit zu v_1 = 7,91 km/s.

Oberhalb der Erdatmosphäre beträgt die Kreisbahngeschwindigkeit etwa 7,8 km/s.

Ein Teil der erforderlichen Kreisbahngeschwindigkeit besteht schon beim Raketenstart durch die Erdrotation, beim Start am Äquator in Richtung Osten beträgt dieser Beitrag etwa 0,46 km/s.

Zweite kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit[Bearbeiten]

Beispiele: Einige Fluchtgeschwindigkeiten
Himmels-
körper
v_2 am Äquator
in km/s
Merkur 4,3
Venus 10,2
Erde 11,2
Mond 2,3
Mars 5,0
Jupiter 59,6
Saturn 35,5
Uranus 21,3
Neptun 23,3
Pluto 1,1
Sonne 617,3
Sonne im
Erdabstand
42,0

Die zweite kosmische Geschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit für eine offene, nicht zurückkehrende Bahn. Bei dieser Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gleich seiner Bindungsenergie im Gravitationsfeld, also

\frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{G M m}{r}.

Umstellen nach v_2 ergibt

v_2 = \sqrt{\frac {2 G M}{r}} .

Die Fluchtgeschwindigkeit ist also um den Faktor \sqrt{2} größer als die erste kosmische Geschwindigkeit.

Mit der Schwerebeschleunigung g = \frac{G M}{r^2} (in einem nicht rotierenden Bezugssystem) gilt

v_2 = \sqrt{2gr} .

Nicht berücksichtigt ist hier die Rotationsgeschwindigkeit der Erde. Diese kann man sich ebenfalls zunutze machen und ist der Grund, warum viele Raumhäfen möglichst nahe am Äquator liegen. Dort nämlich ist die Rotationsgeschwindigkeit der Erde am größten.

Für Himmelskörper mit konstanter mittlerer Dichte \rho und Radius R skalieren M mit R^3 und für r = R sowohl g als auch v_2 linear mit R.

Nebenstehende Tabelle enthält Beispiele.

Geometrische Bedeutung[Bearbeiten]

Wenn ein Flugkörper, der sich auf einer Kreisbahn um einen Planeten befindet, einen Geschwindigkeitsschub in Flugrichtung erhält, so verformt sich seine Flugbahn zu einer Ellipse. Wird die Geschwindigkeit weiter erhöht, steigt die Exzentrizität der Ellipse an. Das geht so lange, bis der ferne Punkt der Ellipse unendlich weit weg ist. Ab dieser Geschwindigkeit ist der Körper nicht mehr auf einer geschlossenen Bahn, sondern die Ellipse öffnet sich zu einer Parabelbahn. Dies geschieht genau dann, wenn der Flugkörper die zweite kosmische Geschwindigkeit erreicht.

Während sich der Körper von dem Planeten entfernt, wird er von dessen Gravitation weiterhin abgebremst, sodass er erst in unendlicher Entfernung zum Stillstand kommt. Wird hingegen die zweite kosmische Geschwindigkeit überschritten, so nimmt die Flugbahn die Form eines Hyperbel-Asts an - in diesem Fall bleibt im Unendlichen eine Geschwindigkeit übrig, die als hyperbolische Exzessgeschwindigkeit oder hyperbolische Überschussgeschwindigkeit bezeichnet wird und die Energie der Hyperbelbahn charakterisiert. Sie berechnet sich aus der Summe der Energien, also der Quadrate der Geschwindigkeiten, analog zur Berechnung im Folgeabschnitt. Ebenfalls üblich ist die Angabe des Quadrates der Geschwindigkeit (also Energie pro Masse), häufig mit dem Formelzeichen c3.

Fluchtgeschwindigkeit in der Raumfahrt[Bearbeiten]

Interplanetare Raumsonden befinden sich häufig zuerst auf einer Erdumlaufbahn (Parkbahn), bevor die Triebwerke erneut gezündet werden und den Flugkörper auf die erforderliche Geschwindigkeit oberhalb der Fluchtgeschwindigkeit (s. u.) beschleunigen. Hierbei leistet die Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne bei entsprechender Wahl der Flugbahn bereits einen großen Beitrag zur notwendigen Endgeschwindigkeit.

Für Flugbahnen zum Mond muss die Fluchtgeschwindigkeit nicht vollständig erreicht werden, vielmehr muss die maximale Entfernung des Flugkörpers zur Erde der Distanz Erde–Mond entsprechen. Die tatsächliche Flugbahn ist durch den Einfluss des Mondes (eingeschränktes Dreikörperproblem) nicht algebraisch berechenbar.

Dritte kosmische Geschwindigkeit[Bearbeiten]

Die dritte kosmische Geschwindigkeit ist die Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne, berechnet von der Erdbahn aus. Dazu verwendet man wieder die Formel für die 2. kosmische Geschwindigkeit, wobei nun die Sonnenmasse und der Abstand Erde-Sonne eingesetzt werden.

Dies ergibt v3=42,1 km/s. [2]

Die obige Fluchtgeschwindigkeit gilt nur für einen Körper, der sich im Abstand der Erde von der Sonne wegbewegt. Wenn aber eine Rakete von der Erde startet und das Sonnensystem verlassen soll, muss sie das gemeinsame Gravitationsfeld von Erde und Sonne überwinden. Für den Start von der Erde kann man sich die Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne zu Nutze machen, da diese bereits 29,8 km/s beträgt. Somit ist bei einer Abschussrichtung tangential zur Erdbahn nur eine Geschwindigkeit von Δv = 42,1 km/s - 29,8 km/s = 12,3 km/s relativ zur Erde notwendig, um das Gravitationsfeld der Sonne allein zu verlassen. Dann braucht der Körper zusätzlich noch die Fluchtgeschwindigkeit der Erde.

Für die notwendige Geschwindigkeit v_3 ergibt sich damit insgesamt:

v_3 = \sqrt{\Delta v^2+v_2^2} = 16{,}5\,\mathrm{km/s}

Vierte kosmische Geschwindigkeit[Bearbeiten]

Die vierte kosmische Geschwindigkeit ist jene Geschwindigkeit, die notwendig ist, um die Milchstraße zu Verlassen. Ihre Berechnung ist im Prinzip analog zur Berechnung der zweiten oder dritten kosmischen Geschwindigkeit; stellt sich aber in der Realität deutlich komplizierter dar, weil sowohl die Masse der Galaxie innerhalb der Umlaufbahn der Sonne um das galaktisches Zentrum, als auch die Masse der Galaxie außerhalb dieser Umlaufbahn berücksichtigt werden muss. Weiters muss die Dunkle Materie berücksichtigt werden. Die vierte kosmische Geschwindigkeit beträgt nach aktuellen Berechnungen[3] :

v_4= 533 ^{+54}_{-41} \,\,\text{km/s}

Außerdem muss man die Rotationsgeschwindigkeit der Sonne um das Zentrum der Galaxie berücksichtigen. Diese beträgt rund 220 km/s.[4] Somit beträgt die Geschwindigkeit, mit der ein Objekt vom Sonnensystem aus abgeschossen werden muss, damit es die Galaxie verlässt, je nach Richtung relativ zur Bewegung der Sonne um das galaktische Zentrum mindestens 313 km/s.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Giovanni Virginio Schiaparelli: Entwurf einer astronomischen Theorie der Sternschnuppen. 1867, Übersetzung aus dem Italienischen 1871, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  2. Dr.-Ing. Christian Gritzner - Astronomische Frage der Woche. Website des DLRs. Abgerufen am 13. Februar 2015.
  3.  T. Piffl, C. Scannapieco, J. Binney, M. Steinmetz, R.-D. Scholz, M. E. K. Williams, R. S. de Jong, G. Kordopatis, G. Matijevic, O. Bienaymé, J. Bland-Hawthorn, C. Boeche, K. Freeman, B. Gibson, G. Gilmore, E. K. Grebel, A. Helmi, U. Munari, J. F. Navarro, Q. Parker, W. A. Reid, G. Seabroke, F. Watson, R. F. G. Wyse, T. Zwitte: The RAVE survey: the Galactic escape speed and the mass of the Milky Way. arXiv:1309.4293 (Abstract).
  4.  M. J. Reid, A. C. S. Readhead, R. C. Vermeulen, R. N. Treuhaft: The Proper Motion of Sagittarius A*. I. First VLBA Results. In: The Astrophysical Journal. 524, Nr. 2, 1999, S. 816-823, doi:10.1086/307855 (Abstract).