Erwartungswert

Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form genau die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben, das heißt wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergieren.

Er bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariable und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik. Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte $\pm \infty$ annehmen.

Weil der Erwartungswert nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, spricht man auch vom Erwartungswert einer Verteilung, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher auch als ihr erstes Moment bezeichnet.

Motivation

Die Definition des Erwartungswerts geschieht in Anlehnung an den gewichteten Mittelwert von Zahlen. Wurde mit einem Würfel zehnmal hintereinander gewürfelt und jeweils die Augen gezählt, zum Beispiel 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5, kann der Mittelwert

$\bar x=(4 + 2 + 1 + 3 + 6 + 3 + 3 + 1 + 4 + 5)\cdot\tfrac1{10} = 3{,}2$

alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach ihrer relativen Häufigkeit gewichtet werden:

$\bar x = \tfrac 2{10}\cdot 1 + \tfrac 1{10}\cdot 2 + \tfrac 3{10}\cdot 3 + \tfrac 2{10}\cdot 4 + \tfrac 1{10}\cdot 5 + \tfrac 1{10}\cdot 6 = 3{,}2$.

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in n Würfen sich wie

$1\cdot h_n(1)+2\cdot h_n(2)+3\cdot h_n(3)+4\cdot h_n(4)+5\cdot h_n(5)+6\cdot h_n(6),$

schreiben, worin $h_n(k)$ die relative Häufigkeit der Augenzahl k darstellt.

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen $X$ betrachtet werden. Während die relativen Häufigkeiten sich mit wachsendem Stichprobenumfang n den Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen annähern, strebt der Mittelwert gegen den Erwartungswert von $X$, bei dem die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet werden:

$\operatorname{E}(X)$	$=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)+5\cdot P(X=5)+6\cdot P(X=6)\,$
	$=(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)\cdot \tfrac16 = 3{,}5.$

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe, ist auch der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen $X$.

Definitionen

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren folgende Formeln für den Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariablen

Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist $X$ eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte $(x_i)_{i \in I}$ mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten $(p_i)_{i \in I}$ annimmt (mit $I$ als abzählbare Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert $\operatorname{E}(X)$ im Falle der Existenz mit:

$\operatorname{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i p_i=\sum_{i \in I} x_i P(X=x_i)$

Ist $I = \mathbb{N}$, so besitzt $X$ genau dann einen endlichen Erwartungswert $\operatorname{E}(X)$, wenn die Konvergenzbedingung

$\lim_{a\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^a |x_i|p_i = \sum_{i=1}^\infty |x_i|p_i <\infty$ erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion

Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β).

Hat eine reelle Zufallsvariable $X$ eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f$, das heißt hat das Bildmaß $P^X$ diese Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß $\lambda$, so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

$\operatorname E(X)= \int_{\mathbb{R}} x f(x)\,\mathrm{d}\lambda(x).$

In vielen Anwendungsfällen liegt Riemann-Integrierbarkeit vor und man hat

$\operatorname E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x.$

Allgemeine Definition

Der Erwartungswert wird entsprechend als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist $X$ eine P-integrierbare oder P-quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\Sigma,P)$ nach $(\overline{\R},\mathcal{B})$, wobei $\mathcal{B}$ die Borelsche σ-Algebra über $\overline{\R}:=\R\cup\{-\infty,\infty\}$ ist, so definiert man

$\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \,\mathrm{d}P = \int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)\,$.

Die Zufallsvariable $X$ besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also die Integrale

$\int_\Omega X^+(\omega)\,\mathrm{d}P(\omega)$ und $\int_\Omega X^-(\omega)\,\mathrm{d}P(\omega)$

nicht beide unendlich sind, wobei $X^+$ und $X^-$ den Positiv- sowie den Negativteil von $X$ bezeichnen. In diesem Fall kann $\operatorname{E}(X) = \infty$ oder $\operatorname{E}(X) = -\infty$ gelten.

Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn $X$ integrierbar ist, also die obigen Integrale über $X^+$ und $X^-$ beide endlich sind. Dies ist äquivalent mit

$\int_\Omega |X(\omega)|\,\mathrm{d}P(\omega) < \infty .$

In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder $X$ sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall $\infty$ bzw. $-\infty$ aus.

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Haben die integrierbaren Zufallsvariablen $X$ und $Y$ eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(x,y)$, so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion $g(X,Y)$ von $X$ und $Y$ nach dem Satz von Fubini zu

$\operatorname{E}(g(X,Y))=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y) f(x,y)\,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y.$

Der Erwartungswert von $g(X,Y)$ ist nur dann endlich, wenn das Integral

$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \left| g(x,y) \right| f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

endlich ist.

Insbesondere ist:

$\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

Aus der Randdichte errechnet sich der Erwartungswert wie bei univariaten Verteilungen:

$\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x f_X(x)\,\mathrm{d}x .$

Dabei ist die Randdichte $f_X(x)$ gegeben durch

$f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\mathrm{d}y .$

Beispiele

Würfeln

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable $X$ betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

$\operatorname{E}(X)=\sum_{i=1}^6 i\cdot \frac{1}{6} = 3{,}5$

Wenn man beispielsweise 1000 Mal würfelt, d. h. das Zufallsexperiment 1000 mal wiederholt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

St. Petersburger Spiel

Das sogenannte St. Petersburger Spiel ist ein Spiel, dessen zufälliger Gewinn $X$ einen unendlichen Erwartungswert hat. Man wirft eine Münze. Zeigt sie Kopf, erhält man 2 Euro und das Spiel ist beendet, zeigt sie Zahl, darf man nochmals werfen. Wirft man nun Kopf, erhält man 4 Euro und das Spiel ist beendet, wirft man wieder Zahl, so darf man ein drittes Mal werfen. Der Erwartungswert des Gewinnes $X$ ist unendlich:

$\operatorname{E}(X)= 2\cdot\frac{1}{2} + 4\cdot\frac{1}{4} + 8\cdot\frac{1}{8} + \cdots = 1 + 1 + \cdots = \infty.$

Zufallsvariable mit Dichte

Gegeben ist die reelle Zufallsvariable $X$ mit der Dichtefunktion

$f(x) = \begin{cases} \frac 1x, & 3 \le x \le 3\mathrm{e}, \\ & \\ 0, & \text {sonst}, \end{cases}$

wobei $\mathrm{e}$ die Eulersche Konstante bezeichnet.

Der Erwartungswert von $X$ berechnet sich als

$\begin{align} \operatorname E(X)&= \int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^3 x \cdot 0\,\mathrm{d}x + \int_3^{3\mathrm{e}} x \cdot \frac 1x\,\mathrm{d}x + \int_{3\mathrm{e}}^\infty x \cdot 0 \,\mathrm{d}x\\ &= 0 + \int_3^{3\mathrm{e}} 1\,\mathrm{d}x + 0 = [x]^{3\mathrm{e}}_3 = 3\mathrm{e}-3 = 3(\mathrm{e}-1). \end{align}$

Allgemeine Definition

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \Sigma, P)$ mit $\Omega = \{\omega_1, \omega_2 , \omega_3\}$, $\Sigma$ die Potenzmenge von $\Omega$ und $P(\{\omega_i\})=\tfrac{1}{3}$ für $i=1,2,3$. Der Erwartungswert der Zufallsvariablen $X \colon \Omega \to \R$ mit $X(\omega_1) = X(\omega_2) = 1$ und $X(\omega_3) = 2$ ist

$\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \, \mathrm{d}P = X(\omega_1)P(\{\omega_1\}) + X(\omega_2)P(\{\omega_2\}) + X(\omega_3)P(\{\omega_3\}) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.$

Da $X$ eine diskrete Zufallsvariable ist mit $P(X=1) = P(\{\omega_1, \omega_2\}) = \tfrac{2}{3}$ und $P(X=2) = P(\{\omega_3\}) = \tfrac{1}{3}$, kann der Erwartungswert alternativ auch berechnet werden als

$\operatorname{E}(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.$

Rechenregeln

Der Erwartungswert ist linear für alle integrierbaren Zufallsvariablen, da das Integral ein linearer Operator ist. Daraus ergeben sich die folgenden zwei sehr nützlichen Regeln:

Erwartungswert der Summe von n Zufallsvariablen

Der Erwartungswert der Summe von $n$ integrierbaren Zufallsvariablen $X_i$ lässt sich als Summe der einzelnen Erwartungswerte berechnen:

$\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=\sum_{i=1}^n\operatorname{E}(X_i)$

Dies gilt auch für diskrete Zufallsvariablen und auch, falls sie nicht stochastisch unabhängig sind.

Lineare Transformation

Seien $X$ und $Y$ zwei integrierbare Zufallsvariablen, so gilt für die Lineare Transformation $Y=cX + d\,$ mit $c,d \in \mathbb{R}$:

$\operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(cX+d)=c\operatorname{E}(X)+d$,

insbesondere auch

$\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X).$

Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariablen $X_i$ stochastisch voneinander unabhängig und integrierbar sind, gilt:

$\operatorname{E}\!\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right) = \prod_{i=1}^n \operatorname{E}(X_{i})$

insbesondere auch

$\operatorname{E}\!\left(X_iX_j\right) = \operatorname{E}\!\left(X_i\right) \cdot \operatorname{E}\!\left(X_j\right)$ für $i \neq j$

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis $A$ gilt

$\operatorname{P}(A) = \operatorname{E}(\chi_A)\,$,

wobei $\chi_A$ die Indikatorfunktion von $A$ ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Wenn $Y=g(X)$ wieder eine Zufallsvariable ist, so kann man den Erwartungswert von $Y$, statt mittels der Definition, auch mittels der Formel

$\operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(g(X))=\int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x)\,\mathrm{d}x$

berechnen. Auch in diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn

$\int_{-\infty}^\infty \left| g(x) \right| f_X(x)\,\mathrm{d}x$

konvergiert.

Bei einer diskreten Zufallsvariable verwendet man eine Summe:

$\operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(g(X))=\sum_i g(x_i) p_X(x_i).$

Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren, damit der Erwartungswert existiert.

Begriff und Notation

Das Konzept des Erwartungwertes geht auf Christiaan Huygens zurück. In einer Abhandlung über Glücksspiele von 1656, „Van rekeningh in spelen van geluck“ bezeichnet Huygens den erwarteten Gewinn eines Spiels als „het is my soo veel weerdt“. Frans van Schoten führte in seiner Übersetzung von Huygens' Text ins Lateinische den Begriff expectatio. Bernoulli übernahm in seiner Ars conjectandi den von van Schoten eingeführten Begriff in der Form valor expectationis.

Im westlichen Bereich wird für den Operator $\operatorname{E}\left(X\right)$ verwendet, speziell in anglophoner Literatur $\operatorname{E}\left[X\right]$. In der russischsprachigen Literatur finden sich Bezeichnungen $M(X)$. Die Bezeichnung $\mu_X$ betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet die Bra-Ket-Notation Verwendung. Insbesondere wird $\langle X \rangle$ statt $\operatorname{E}(X)$ für den Erwartungswert einer Größe X geschrieben.

Quantenmechanischer Erwartungswert

Ist $\psi(r,t)=\langle r|\psi(t)\rangle$ die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand $|\psi(t)\rangle$ und ist $\hat O$ ein Operator, so ist

$\langle \hat O \rangle_{|\psi(t)\rangle}:= \langle\psi(t)|\hat O |\psi(t)\rangle= \int_{M^2} \mathrm{d}^n r\, \mathrm{d}^n r^\prime\, \psi^\star (r,t)\langle r|\hat O|r^\prime\rangle\psi(r^\prime,t)$

der quantenmechanische Erwartungswert von $\hat O$ im Zustand $|\psi(t)\rangle$. $M$ ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt, $n$ ist die Dimension von $M$, und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich $\hat O$ als formale Potenzreihe $O(\hat r,\hat p)$ schreiben (und das ist oft so), so verwendet man die Formel

$\langle \hat O\rangle_\psi = \int_M \mathrm{d}^n r\, \psi^\star(r,t) O(r,\frac{\hbar}{i}\nabla_r)\psi(r,t).$

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Ortsdarstellung ist

$\langle\hat r\rangle = \int_M \mathrm{d}^n r\, \psi^\star(r,t)r\psi(r,t)= \int_M \mathrm{d}^n r\, r|\psi(r,t)|^2 =\int_M \mathrm{d}^n r\, rf(r,t).$

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Impulsdarstellung ist

$\langle\hat r\rangle = \int_M \mathrm{d}^n p\,\Psi^\star(p,t)i\hbar\vec\nabla_p\Psi(p,t),$

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben. In der Physik schreibt man $\rho$ (rho) statt $f$.

Erwartungswert von Matrizen

Ist $X$ eine $m \times n$ Matrix, dann ist der Erwartungswert der Matrix definiert als:

$\operatorname{E}\left(X\right) = \operatorname{E}\left( \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\ \vdots \\ x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n} \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} \operatorname{E}(x_{1,1}) & \operatorname{E}(x_{1,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{1,n}) \\ \operatorname{E}(x_{2,1}) & \operatorname{E}(x_{2,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{2,n}) \\ \vdots \\ \operatorname{E}(x_{m,1}) & \operatorname{E}(x_{m,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{m,n}) \end{bmatrix}$

Siehe auch

• Varianz
• Parameter (Statistik)
• Moment
• Momenterzeugende Funktion
• Charakteristische Funktion (Stochastik)
• Bedingter Erwartungswert
• Erwartungsnutzenfunktion

Literatur

• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9

Weblinks

• Erwartungswert Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Erwartungswert