Eulersche Zahl

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Dieser Artikel behandelt die Basis des natürlichen Logarithmus. Zu anderen nach Euler benannten Zahlen siehe Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).

Die eulersche Zahl e = 2,718281828459045235... (benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler) ist eine irrationale und sogar transzendente reelle Zahl.

Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion. Diese (spezielle) Exponentialfunktion wird aufgrund dieser Beziehung zur Zahl e häufig kurz e-Funktion genannt.

Die eulersche Zahl spielt in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik und besonders in der Differential- und Integralrechnung eine zentrale Rolle. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.[1]

Definition[Bearbeiten]

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die beiden bekanntesten Darstellungen lauten:

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n   als Grenzwert einer Folge bzw. Funktion (je nachdem, ob man n\in\Bbb N oder n\in\Bbb R voraussetzt) und
e = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots

als Reihe, mit 0! =1 per Definition des leeren Produktes.

Mit k! wird dabei die Fakultät von k, also das Produkt der natürlichen Zahlen bis hin zu k, bezeichnet. Beide Darstellungen entsprechen dem Funktionswert \exp(1)=e^1 der Exponentialfunktion (oder „e-Funktion“) an der Stelle 1; die Reihenschreibweise entspricht zudem der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion um den Punkt null an der Stelle 1 ausgewertet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die eulersche Zahl e ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl \pi nach Ferdinand von Lindemann 1882) weder als Bruch zweier natürlicher Zahlen noch als Lösung einer algebraischen Gleichung endlichen Grades darstellen und besitzt folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Das Irrationalitätsmaß von e ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist e nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob e zu irgendeiner Basis normal ist.[2]

In der eulerschen Identität

e^{\mathrm i\cdot\pi} = -1

werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die eulersche Zahl e, die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und die Kreiszahl \pi.

Die eulersche Zahl e ist die einzige positive reelle Zahl, für welche gilt:

\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = {1}.

Sie tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe Stirlingformel):[3]

 \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \cdot e^{\frac{1}{12n}}.

Herkunft des Symbols e[Bearbeiten]

Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von Euler 1736 in seinem Werk Mechanica benutzt. Es gibt keine Hinweise, dass dies in Anlehnung an seinen Namen geschah, ebenfalls ist unklar, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d’Alemberts Histoire de l’Académie, hat sich e durchgesetzt.

Weitere Darstellungen für die eulersche Zahl[Bearbeiten]

Die eulersche Zahl lässt sich auch durch

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{!n}.

Eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen wird über die Formeln

 e = \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n})^{\pi(n)}
 e = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n\#}

deutlich, wobei  \pi(n) die Primzahlfunktion und das Symbol  n\# das Primorial der Zahl  n bedeutet.

Auch eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

e=\sqrt[1]{\frac{2}{1}}\cdot\sqrt[2]{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots

Kettenbruchentwicklungen[Bearbeiten]

Im Zusammenhang mit der Zahl e gibt es spätestens seit dem Erscheinen von Leonhard Eulers Introductio in Analysin Infinitorum im Jahre 1748 eine große Anzahl Kettenbruchentwicklungen für e und aus e ableitbare Größen.

So hat Euler die folgende klassische Identität für e gefunden:

(1) 
\begin{align}
e &= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots] \\
  &= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}}}}}
\end{align}

Die Identität (1) weist offenbar ein regelmäßiges Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt. Sie gibt einen regulären Kettenbruch wieder, der von Euler aus dem folgenden abgeleitet wurde:[4]

(2)
\begin{align}
\frac{e + 1}{e - 1} &=  [2; 6, 10, 14, \dots]  \\
  &= {2+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}}}  \\
  & \approx  2,1639534137386 
\end{align}

Letzterer Kettenbruch ist seinerseits ein Spezialfall des folgenden mit k = 2:

(3)
\begin{align}
  {\coth {\frac{1}{k}}} &= \frac{e^{\frac{2}{k}} + 1}{e^{\frac{2}{k}} - 1} \\
  &=  [k; 3k, 5k, 7k, \dots] \\
  &=  {k+\cfrac{1}{3k+\cfrac{1}{5k+\cfrac{1}{7k+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}}} \\
\end{align}
    ( k = 1,2,3,\dots )

Eine andere klassische Kettenbruchentwicklung, die jedoch nicht regelmäßig ist, stammt ebenfalls von Euler:[5]

(4) \frac{1}{e - 1} = {0+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{\;\,\ddots}}}} }  \approx  0,58197670686932 [6]

Auf Euler und Ernesto Cesàro geht eine weitere Kettenbruchentwicklung der eulerschen Zahl zurück, die von anderem Muster als in (1) ist:[7]

(5) 
\begin{align}
e &= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\cfrac{5}{6+\cfrac{6}{7+\cfrac{7}{8+\dotsb}}}}}}}}
\end{align}

Im Zusammenhang mit der eulerschen Zahl existiert darüber hinaus eine große Anzahl von allgemeinen kettenbruchtheoretischen Funktionalgleichungen. So nennt Oskar Perron als eine von mehreren die folgende allgemein gültige Darstellung der e-Funktion:[8]

(6) 
\begin{align}
{e^z} &= 1+\cfrac{z}{1-\cfrac{1 z}{2+z-\cfrac{2 z}{3+z-\cfrac{3 z}{4+z-\cfrac{4 z}{5+z-\cfrac{5 z}{6+z-\cfrac{6 z}{7+z-\cfrac{7 z}{8+z-\dotsb}}}}}}}}
\end{align}
     (z \in \C )

Ein weiteres Beispiel hierfür ist die von Johann Heinrich Lambert stammende Entwicklung des Tangens Hyperbolicus, die zu den lambertschen Kettenbrüchen gerechnet wird:[9][10]

(7)
\begin{align}
   {\tanh z} &= {\frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}} }    \\
   &= {\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1} } \\
   &= 0+\cfrac{z}{1+\cfrac{z^2}{3+\cfrac{z^2}{5+\cfrac{z^2}{7+\cfrac{z^2}{9+\cfrac{z^2}{11+\cfrac{z^2}{13+\cfrac{z^2}{15+\dotsb}}}}}}}}
\end{align}
     (z \in \C \setminus \{    \frac{\mathrm{i}\pi}{2}   + k \pi : k = 0,1,2,3 \dots \}    )

Anschauliche Interpretationen der eulerschen Zahl[Bearbeiten]

Zinseszinsrechnung[Bearbeiten]

Das folgende Beispiel macht die Berechnung der eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz z=100\,% pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres, wenn er die Zinsen zu gleichen Bedingungen anlegt?

Nach der Zinseszinsformel wird aus dem Startkapital K_0 nach n Verzinsungen mit Zinssatz z das Kapital

 K_n=K_0 (1+z)^n.

In diesem Beispiel sind K_0 = 1 und z = 100\,% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder z=1/n, wenn der Zinszuschlag n-mal im Jahr erfolgt, also bei unterjähriger Verzinsung.

Bei jährlichem Zuschlag wäre

K_1= 1 \cdot(1+1)^1 = 2{,}00.

Bei halbjährlichem Zuschlag hat man z = 1/2,

K_2= 1 \cdot(1+1/2)^2 = 2{,}25,

also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (z=1/365) erhält man

K_{365}= 1 \cdot(1+1/365)^{365}= 2{,}714567.

Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für e.

Wahrscheinlichkeitsrechnung[Bearbeiten]

e ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Beispielsweise sei angenommen, dass ein Bäcker für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig gibt und diesen gut durchknetet. Danach enthält statistisch gesehen jedes e-te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit p, dass bei n Brötchen keine der n Rosinen in einem fest gewählten ist, ergibt im Grenzwert für n\to\infty (37%-Regel):

p = \lim_{n\to\infty}\left(\frac {n-1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac {1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}.

Charakterisierung der eulerschen Zahl nach Steiner[Bearbeiten]

Im vierzigsten Band von Crelles Journal aus dem Jahre 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner eine Charakterisierung der eulerschen Zahl e, wonach e als Lösung einer Extremwertaufgabe verstanden werden kann. Steiner zeigte nämlich, dass die Zahl e charakterisierbar ist als diejenige eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, welche beim Wurzelziehen mit sich selbst die größte Wurzel liefert. Wörtlich schreibt Steiner: Wird jede Zahl durch sich selbst radicirt, so gewährt die Zahl e die allergrößte Wurzel.[11]

Steiner behandelt hier die Frage, ob für die Funktion

 f : (0,\infty) \to (0,\infty) ,\;  x \mapsto f(x) = \sqrt[x]{x} = x^{ \frac{1}{x} }

das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in x_{max} = e .

In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht aus von der folgenden für die reelle Exponentialfunktion stets gültigen Ungleichung:

 e^x > 1 + x     (\forall  x \in \R \setminus \{ 0 \}  )

Damit gilt für alle positiven reellen Zahlen  x \neq e stets

 e^{ \frac{x - e}{e} } > 1 + \frac{x - e}{e}  .

Mittels einfacher Umformungen folgt unmittelbar

  e^{ \frac{x}{e} } > x

und schließlich

 \sqrt[e]{e} > \sqrt[x]{x} .[12][13]

Bruchnäherungen[Bearbeiten]

Für die Zahl e und daraus abgeleitete Größen gibt es verschiedene näherungsweise Darstellungen mittels Brüchen. So fand Charles Hermite die folgenden Bruchnäherungen:

e \approx \frac{58291}{21444} \approx 2{,}718289498
e^2 \approx \frac{158452}{21444} \approx 7{,}38910651

Hier weicht der erstgenannte Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von e ab.[14]

Die optimale Bruchnäherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale Bruchnäherung e \approx \frac{Z_0}{N_0} mit N_0, Z_0 < 1000, ist

e \approx \frac{878}{323} \approx 2{,}718266254.[15]

Diese Näherung ist jedoch nicht die beste Bruchnäherung im Sinne der Forderung, dass der Nenner höchstens dreistellig sein soll. Die in diesem Sinne beste Bruchnäherung ergibt sich als 9. Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung der eulerschen Zahl:

e \approx \frac{1457}{536} \approx  2{,}71828358 \dots

Aus den Näherungsbrüchen der zu e gehörenden Kettenbruchentwicklungen (s. o.) ergeben sich Bruchnäherungen beliebiger Genauigkeit für e und daraus abgeleitete Größen. Mit diesen findet man sehr effektiv beste Bruchnäherungen der eulerschen Zahl in beliebigen Zahlenbereichen. So erhält etwa im fünfstelligen Zahlenbereich die beste Bruchnäherung

e \approx \frac{49171}{18089} \approx 2{,}718281828735 \dots ,

die zeigt, dass die von Charles Hermite für die eulersche Zahl im fünfstelligen Zahlenbereich gefundene Bruchnäherung noch nicht optimal war.

In gleicher Weise hat etwa C. D. Olds gezeigt, dass durch die Näherung

\frac {e - 1}{2} \approx \frac{342762}{398959}

für die eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich

e \approx \frac{1084483}{398959} \approx  2{,}7182818284585 \dots ,

zu erzielen ist.[16]


Insgesamt beginnt die Folge der besten Näherungsbrüche der eulerschen Zahl, welche sich aus ihrer regelmäßigen Kettenbruchdarstellung ergeben, folgendermaßen:[17]


\frac{p_0}{q_0} =            [2]   = \frac{2}{1}


\frac{p_1}{q_1}=             [2; 1]    = \frac{3}{1}


\frac{p_2}{q_2}=             [2; 1, 2]    = \frac{8}{3}


\frac{p_3}{q_3}=             [2; 1, 2, 1]    = \frac{11}{4}


\frac{p_4}{q_4}=             [2; 1, 2, 1, 1]    = \frac{19}{7}


\frac{p_5}{q_5}=             [2; 1, 2, 1, 1, 4]    = \frac{87}{32}


\frac{p_6}{q_6}=             [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1]    = \frac{106}{39}


\frac{p_7}{q_7}=             [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1] = \frac{193}{71}


\frac{p_8}{q_8}=             [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6] = \frac{1264}{465}


\frac{p_9}{q_9}=             [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1] = \frac{1457}{536}


\frac{p_{10}}{q_{10}}=       [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1] = \frac{2721}{1001}


\frac{p_{11}}{q_{11}}=       [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8] = \frac{23225}{8544}


\dots


\frac{p_{20}}{q_{20}}=       [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14] = \frac{410105312}{150869313}


\dots

Sonstiges[Bearbeiten]

Entwicklung der Anzahl der bekannten Nachkommastellen von e[Bearbeiten]

Datum Anzahl Mathematiker
1748 23 Leonhard Euler[18]
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1946 808  ?
1949 2.010 John von Neumann (berechnet auf dem ENIAC)
1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench
1981 116.000 Steve Wozniak (berechnet mithilfe eines Apple II)
1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997 18.199.978 Patrick Demichel
August 1997 20.000.000 Birger Seifert
September 1997 50.000.817 Patrick Demichel
Februar 1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski
Oktober 1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski
21. November 1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon
10. Juli 2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. Juli 2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2. August 2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16. August 2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21. August 2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18. September 2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27. April 2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
6. Mai 2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
20. Februar 2010 500.000.000.000 Alexander Yee[19]
5. Juli 2010 1.000.000.000.000 Shigeru Kondo[19]

Die ersten 200 Nachkommastellen von e[Bearbeiten]

Die Dezimalbruchentwicklung von e mit Nennung der ersten 200 Nachkommastellen lautet:[20] [21]


\begin{align}
e=2{,}&71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995 \\
      &95749\,66967\,62772\,40766\,30353\,54759\,45713\,82178\,52516\,64274 \\
      &27466\,39193\,20030\,59921\,81741\,35966\,29043\,57290\,03342\,95260 \\
      &59563\,07381\,32328\,62794\,34907\,63233\,82988\,07531\,95251\,01901 \ldots
\end{align}

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Eulersche Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: eulersche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Man beachte: Die eulersche Zahl ist nicht identisch mit der Euler-Mascheroni-Konstante \gamma, welche in manchen Quellen den ähnlich klingenden Namen eulersche Konstante hat.
  2. Richard George Stoneham: A general arithmetic construction of transcendental non-Liouville normal numbers from rational fractions (PDF-Datei, 692 kB), Acta Arithmetica 16, 1970, S. 239–253
  3. Die Stirling-Formel (PDF-Datei; 78 kB), James Stirling: Methodus Differentialis, 1730, S.1
  4.  Perron: Irrationalzahlen. S. 115.
  5.  Euler: S. 305.
  6. Folge A073333 in OEIS
  7.  Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen - Band II. S. 19.
  8.  Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen - Band II a. a. O..
  9.  Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen - Band II. S. 157.
  10. Man beachte die Verbindung zu Identität (3)!
  11.   In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 40, S. 208.
  12.  Dörrie: S. 358.
  13. Man kann diese Aufgabe auch mit den bei der Kurvendiskussion in der Differentialrechnung angewandten Methoden lösen.
  14.  Maor: S. 185.
  15.  Wells: S. 46.
  16.  Olds: In: Amer. Math. Monthly. S. 973.
  17. Siehe: Folge A007676 in OEIS (Zähler) / Folge A0A007677 in OEIS (Nenner)
  18. Leonhardo Eulero: Introductio in analysin infinitorum Band 1, Marcus-Michaelis Bousquet & socii, Lausannæ 1748, (lateinisch; „2,71828182845904523536028“ auf S. 90)
  19. a b http://numberworld.org/digits/E/
  20. Euler’s number to 10,000 digits. Peter Alfeld, Department of Mathematics, University of Utah; genauer siehe bei den Weblinks: Project Gutenberg
  21. Folge A001113 in OEIS