Exakter Test nach Fisher

Der Exakte Fisher-Test (Fisher-Yates-Test, exakter Chi-Quadrat-Test) ist ein Signifikanztest auf Unabhängigkeit in der Kontingenztafel, welcher auch bei einer geringen Anzahl von Beobachtungen zuverlässige Resultate liefert. Im Anwendungsgebiet entspricht er dem Chi-Quadrat-Test. Er geht auf den britischen Statistiker Ronald Aylmer Fisher (1890–1962) zurück.

Vorgehensweise

Chi-Quadrat-Tests funktionieren als asymptotische Tests und sind deshalb erst ab einer bestimmten Stichprobengröße zuverlässig. Im Falle der Kontingenztafeln gilt als Faustregel, dass pro Feld einer Kontingenztafel mindestens etwa fünf Beobachtungen erwartet werden und dass mehr als ein Freiheitsgrad vorhanden ist.

	A	not A	$\sum$
B	a	c	a+c
not B	b	d	b+d
$\sum$	a+b	c+d	n=a+b+c+d

$\varphi (a) = \frac{{a + c \choose a}{b +d \choose b}}{{n \choose a + b}}$

In anderer Schreibweise (Bortz,Lienert,Boehnke 1990) $\varphi (a) = \frac{{(a + b)!}{(c +d)!}{(a + c)!}{(b +d)!}}{{n!}{a!b!c!d!}}$ auch für kxl erweiterbar.

Das folgende Untersuchungsergebnis zum Beispiel kann mit dem Chi-Quadrat-Test bzw. dem Vierfeldertest daher nur schlecht auf seine statistische Signifikanz geprüft werden. Der exakte Test von Fisher hält dagegen auch bei wenigen Beobachtungen das geforderte Niveau.

Leistungen der Schüler einer kleinen Klasse	männlich	weiblich
genügend	3	1
ungenügend	2	2

Der exakte Test bildet Kombinationen von Zellhäufigkeiten, die bei festen Zeilen- und Spaltensummen entstehen könnten, und berechnet die bedingte Wahrscheinlichkeit für die Zellhäufigkeiten, gegeben die Randsummen. Es werden die Wahrscheinlichkeiten für den vorgegebenen Fall und für die extremeren Fälle berechnet und addiert. Diese Wahrscheinlichkeiten folgen, wenn die Nullhypothese stimmt, einer hypergeometrischen Verteilung. In den Ablehnbereich werden zunächst die Kombinationen von Zellhäufigkeiten untergebracht, die mit der Nullhypothese am wenigsten vereinbar sind.

Beispiel

Bei den folgenden Tafeln sind die Summen aller Spalten und Reihen identisch mit der obigen:

Leistungen der Schüler einer kleinen Klasse	männlich	weiblich
genügend	3	1
ungenügend	2	2

H₀ = Männer sind gleichhäufig so gut wie Frauen. H₁ = Männer sind häufiger besser als Frauen.

Extremere Fälle:

	männl.	weibl.
genügend	4	0
ungenügend	1	3

	männl.	weibl.
genügend	1	3
ungenügend	4	0

Für den einseitigen Test wird

$\frac{{4 \choose 3}{4 \choose 2}}{{8 \choose 5}} + \frac{{4 \choose 4}{4 \choose 1}}{{8 \choose 5}}$

und für den zweiseitigen

$\frac{{4 \choose 3}{4 \choose 2}}{{8 \choose 5}} + \frac{{4 \choose 4}{4 \choose 1}}{{8 \choose 5}} + \frac{{4 \choose 1}{4 \choose 4}}{{8 \choose 5}}$

berechnet.

Weblinks

 Wikibooks: Fisher-Test mit R durchführen – Lern- und Lehrmaterialien

• Fisher-Test online berechnen
• Fisher-Test für Tafeln größer als 2x2