Exakter Test nach Fisher

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Der Exakte Fisher-Test (Fisher-Yates-Test, exakter Chi-Quadrat-Test)[1] ist ein Signifikanztest auf Unabhängigkeit in der Kontingenztafel. Im Gegensatz zum Chi-Quadrat-Test stellt er jedoch keine Voraussetzungen an den Stichprobenumfang und liefert auch bei einer geringen Anzahl von Beobachtungen zuverlässige Resultate. Er geht auf den britischen Statistiker Ronald Aylmer Fisher zurück. Ursprünglich wurde er für zwei dichotome Variablen entwickelt, also 2x2 Kontingenztafeln, aber er kann auch auf größere Kontingenztafeln erweitert werden.[2]

Idee[Bearbeiten]

Erwartete Häufigkeiten bei
Gültigkeit der Nullhypothese.
    Beobachtete Häufigkeiten
in der Stichprobe.
A nicht A \sum A nicht A \sum
B h_a h_c h_B B a c a+c
nicht B h_b h_d h_{\bar{B}} nicht B b d b+d
\sum h_A h_{\bar{A}} n \sum a+b c+d n=a+b+c+d

Fishers exakter Test ist eine Alternative zu einem \chi^2-basierten Test bei einer 2x2 Kontingenztafel. Die rechte obere Kontingenztabelle enthält die beobachteten Häufigkeiten a, b, c und d für die vier Merkmalskombinationen, während die linke obere Kontingenztabelle die erwarteten Häufigkeiten unter der Gültigkeit der Nullhypothese enthält. Die Teststatistik ergäbe sich bei einem \chi^2-basierten Test zu

\varphi = \frac{(a-h_a)^2}{h_a}+\frac{(b-h_b)^2}{h_b}+\frac{(c-h_c)^2}{h_c}+\frac{(d-h_d)^2}{h_d}

und wäre dann approximativ \chi^2 verteilt mit einem Freiheitsgrad. Damit die Approximation gilt, muss jedoch gelten h_a\geq5, h_b\geq5, h_c\geq5 und h_d\geq5.

Sind die vier Randhäufigkeiten h_A, h_B, h_{\bar{A}} und h_{\bar{B}} fest, dann reicht es jedoch eine der Zellen zu betrachten. Sobald z.B. der Wert von h_a festliegt, liegen aufgrund der fixierten Randhäufigkeiten auch die Werte für h_b, h_c und schließlich auch h_d fest.

Fisher zeigte, dass die Anzahl der Beobachtungen H_a in der linken oberen Ecke einer hypergeometrischen Verteilung folgt:

H_a \sim Hyp(N_{hyp}=n, M_{hyp}=h_B, n_{hyp}=h_A).

Die unbekannten Randhäufigkeiten werden aus der Stichprobe mittels deren Randhäufigkeiten geschätzt, so dass folgt:

H_a \sim Hyp(N_{hyp}=n, M_{hyp}=a+c, n_{hyp}=a+b)

und die Wahrscheinlichkeit, dass H_a=a ergibt sich zu

P(H_a=a) = \frac{ {M_{hyp} \choose a}  {N_{hyp} - M_{hyp} \choose n_{hyp} - a} }{ {N_{hyp} \choose n_{hyp}} } = \frac{ {a+c \choose a} {b+d \choose b} }{ {n \choose a+b } }

Alternativ kann nach Bortz, Lienert und Boehnke (1990) die Wahrscheinlichkeit geschrieben werden als

P(H_a=a) = \frac{{(a + b)!}{(c +d)!}{(a + c)!}{(b +d)!}}{{n!}{a!b!c!d!}}

Ist der Wert von a in der Stichprobe zu klein oder zu groß, dann muss die Nullhypothese abgelehnt werden.

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Wahrscheinlichkeitsverteilung für a für das Schülerbeispiel.
Leistungen der Schüler
einer kleinen Klasse
männlich weiblich Summe
genügend 3 1 4
ungenügend 2 2 4
Summe 5 3

Die Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann bei dem Beispiel nicht mit dem Chi-Quadrat-Test bzw. dem Vierfeldertest auf seine statistische Signifikanz geprüft werden. Der exakte Test von Fisher hält dagegen auch bei wenigen Beobachtungen das geforderte Niveau ein.

Wählt man z.B. ein Signifikanzniveau \alpha=15\%, so ergeben sich die kritischen Werte als 2 bzw. 3, d.h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden, wenn a=2 oder a=3 ist. Ist a<2 oder ist a>3, dann kann die Nullhypothese verworfen werden. Im Beispiel ist a=3, d.h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden.

Daneben gibt es noch drei weitere Tabellen (siehe unten), für die gilt, dass die Summe der Spalten- und Zeilenhäufigkeiten gleich den beobachteten Werten sind.

a=1 männl. weibl.   a=2 männl. weibl.   a=4 männl. weibl.
genügend 1 3 genügend 2 2 genügend 4 0
ungenügend 4 0 ungenügend 3 1 ungenügend 1 3

Dieses Beispiel zeigt auch, dass der exakte Test nach Fisher ein konservativer Test ist. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise die Alternativhypothese annimmt (Fehler 1. Art) ergibt sich zu

P(''H_1''|H_0) = P(H_a=0)+P(H_a=1)+P(H_a=4)+P(H_a=5)=14,28\% < \alpha=15\%,

also kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Fisher-Test mit R durchführen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://isi.cbs.nl/glossary/term1276.htm
  2. Mehta, C. R. and Patel, N. R. (1986) Algorithm 643. FEXACT: A Fortran subroutine for Fisher's exact test on unordered r*c contingency tables. ACM Transactions on Mathematical Software, 12, 154–161.