Ext (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mathcal{A} eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten X und Z aus \mathcal{A} sei \mathcal{E} die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.

Auf \mathcal{E} wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0 und 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0 sind äquivalent, wenn es einen Morphismus g:Y\to Y' gibt, so dass das Diagramm

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow \operatorname{id}  && \downarrow g && \downarrow \operatorname{id}\\
0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}

kommutiert. Dabei ist \operatorname{id} der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus g gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse \mathcal{E} modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit \mathrm{Ext}(Z,X) bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.[1][2]

Funktorialität[Bearbeiten]

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass \mathrm{Ext} zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu g:X\to X' und der Sequenz 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0 kann man den Push-out bilden:

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow g  && \downarrow  && \\
0 & \to & X' & \to & Y' 
\end{matrix}

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow g  && \downarrow  && \downarrow \operatorname{id} \\
0 & \to & X' & \to & Y' & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Restklasse somit ein Element in \mathrm{Ext}(Z,X').

Bildet man die Restklasse von 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0 auf die Restklasse von 0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0 ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus \mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z,X').

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z: Zu g:Z'\to Z und der Sequenz 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0 kann man folgenden Pull-back bilden:

\begin{matrix}
 & & & & Y' & \to & Z' & \to & 0\\
& & && \downarrow  && \downarrow g\\
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}.

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z' & \to & 0\\
& & \downarrow \operatorname{id}  && \downarrow  && \downarrow g \\
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in \mathrm{Ext}(Z',X).

Bildet man die Restklasse von 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0 auf die Restklasse von 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0 ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus \mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z',X).

Ext als Ableitung des Hom-Funktors[Bearbeiten]

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d.h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor \mathrm{Hom}(-,X) und definiert

\mathrm{Ext}^n(Z,X) := R_n\mathrm{Hom}(-,X)(Z),

das heißt man bildet die n-te Rechtsableitung von \mathrm{Hom}(-,X) und wendet den so entstandenen Funktor auf Z an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei n\ge 1 und

\begin{array}{ccccc} 
\ldots \rightarrow & P_n & \rightarrow & P_{n-1} & \rightarrow \ldots \rightarrow Z \rightarrow 0 \\
& \lambda_n \downarrow & \nearrow \kappa_n & \\ 
& K_n
\end{array}

eine projektive Auflösung von Z mit einem Epimorphismus \lambda_n:P_n\rightarrow K_n und einem Monomorphismus \kappa_n:K_n \rightarrow P_{n-1}. Weiter sei \kappa_n^* = \mathrm{Hom}(\kappa_n,X) der induzierte Homomorphismus

\kappa_n^*: \mathrm{Hom}(P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm{Hom}(K_n,X),\, f\mapsto f\circ \kappa_n.

Dann ist

\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong \mathrm{coker}(\kappa_n^*) = \mathrm{Hom}(K_n,X)/\kappa_n^*( \mathrm{Hom}(P_{n-1},X)).

Die Elemente aus \mathrm{Ext}^n(Z,X) sind also gewisse Restklassen von Elementen aus \mathrm{Hom}(K_n,X).[3]

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von X und Z auch vertauschen kann, man erhält

\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong R_n\mathrm{Hom}(Z,-)(X).

Zusammenhang zwischen Ext und Ext1[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte \mathrm{Ext} und \mathrm{Ext}^1 zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung \mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X).

Sei 0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0 eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus \mathrm{Ext}(Z,X) definiert. Weiter sei 0 \rightarrow K \rightarrow P \rightarrow Z \rightarrow 0 eine kurze exakte Sequenz mit projektivem P. Mittels der Projektivität von P kann man ein kommutatives Diagramm

\begin{array}{ccccccc} 
0 \rightarrow & K & \rightarrow & P & \rightarrow & Z & \rightarrow 0 \\
& \downarrow \psi & & \downarrow \varphi & & \Vert \\ 
0 \rightarrow & X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z & \rightarrow 0
\end{array}

konstruieren. Dann ist \psi \in \mathrm{Hom}(K,X) ein Homomorphismus, dessen Restklasse nach obiger Darstellung von \mathrm{Ext}^n(Z,X) ein Element aus \mathrm{Ext}^1(Z,X) definiert.

Bildet man die Restklasse von 0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0 in \mathrm{Ext}(Z,X) auf die Restklasse von \psi in \mathrm{Ext}^1(Z,X) ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung \mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X), von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.[4]

Daher kann man \mathrm{Ext} mit \mathrm{Ext}^1 identifizieren, das heißt \mathrm{Ext} kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des \mathrm{Hom}-Funktors definiert werden.

Lange exakte Sequenz[Bearbeiten]

Der Hom-Funktor ist linksexakt , das heißt für eine kurze exakte Sequenz

0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0

und ein weiteres Objekt (Modul) A hat man eine exakte Sequenz

 0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z),

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von \mathrm{Ext}^n auf n=0 ausdehnt, so hat man \mathrm{Ext}^0 = \mathrm{Hom}. Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

 0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z)
\rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Y) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Z) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(A,X) \rightarrow \ldots.

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

 0\rightarrow \mathrm{Hom}(Z,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(Y,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(X,A)
\rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Y,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(X,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(Z,A) \rightarrow \ldots.

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.[5]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
  2. Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
  3. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13
  4. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5
  5. Saunders Mac Lane: 'Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1