Extensionalitätsaxiom

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Das Extensionalitätsaxiom ist ein Axiom der Mengenlehre, das 1888 von Richard Dedekind formuliert wurde und besagt, dass zwei Klassen oder Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben.[1] Von Dedekind übernahm Ernst Zermelo das Extensionalitätsaxiom in die erste axiomatische Mengenlehre, die Zermelo-Mengenlehre von 1907.[2] Von dort aus kam es in die erweiterte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF und alle späteren Versionen der axiomatischen Mengenlehre.

Präzisierung[Bearbeiten]

In der heute maßgeblichen prädikatenlogischen Form der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF, in der alle Objekte Mengen sind, lautet das Extensionalitätsaxiom formal:

\forall A,B\colon (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))

In Mengenlehren mit Urelementen werden die Variablen auf Mengen eingeschränkt, etwa in ZFU:

A\text{ ist Menge } \land B\text{ ist Menge } \Rightarrow (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))

In Mengenlehren mit Klassen wird das Extensionalitätsaxiom allgemeiner mit freien Klassenvariablen gebraucht, etwa in der Ackermann-Mengenlehre:

A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B)

Bedeutung[Bearbeiten]

Das Extensionalitätsaxiom garantiert die Eindeutigkeit einer Klasse oder Menge M, deren Elemente durch eine Eigenschaft ihrer Elemente A(x) beschrieben wird, also durch eine Bedingung der Form

\forall x\colon (x \in M \iff A(x))

Mit dem Extensionalitätsaxiom und dem üblichen Abstraktionsprinzip folgt daraus dann die Gleichheit:

M\,=\,\{x|A(x)\}

Diese Eindeutigkeit ergibt sich insbesondere für die im Leermengenaxiom, Paarmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Vereinigungsaxiom, Aussonderungsaxiom, Ersetzungsaxiom geforderten Mengen und erlaubt dort die Einführung der üblichen Klassenschreibweisen.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vieweg, Braunschweig 1888, § 1.2, Zitat: „Das System S ist daher dasselbe wie das System T, in Zeichen S=T, wenn jedes Element von S auch Element von T und jedes Element von T auch Element von S ist.“ online.
  2. Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. (1907). In: Mathematische Annalen. Bd. 65, 1908, S. 261–281, dort Axiom II S. 263, das Axiom der Bestimmtheit, von der Dedekind a.a.O spricht. Zermelo erwähnt Dedekind einleitend als Vorbild.