Fünfeck

regelmäßiges Fünfeck

Ein Fünfeck ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert. Ein regelmäßiges Fünfeck, auch Pentagon (aus dem Griechischen) genannt, besitzt fünf gleich lange Seiten, wobei die Ecken alle auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Mathematische Zusammenhänge

Größen eines regelmäßigen Fünfecks mit Kantenlänge a

Flächeninhalt	$A \, = \, \frac{a^2}{4} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}$
Umkreisradius	$r_u \, = \, \frac{a}{10} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}}$
Inkreisradius	$r_i \, = \frac{a}{10} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}$
Diagonale	$d \, = \, \frac{a}{2} (1 + \sqrt{5})$
Höhe	$h \, = \frac{a}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} = r_u + r_i$
Umfang	$u \, = 5 \, a$
Kantenwinkel	$\cos \, \alpha = \frac{1}{4}\left(1-\sqrt{5}\right)$ $\alpha = 108^\circ$

Beweisarchiv – siehe Weblinks unten.

Anschauungshilfe zur Herleitung nebenstehender Aussagen über Winkel

Winkel

Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 540° und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable $n$ die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall $n = 5$):

$\sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone, siehe Polygon#Innenwinkel)

$\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ$

Fläche

Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Fläche A eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge $a$ ist das Fünffache der Fläche eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.

$A=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \tan 54^\circ \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ \approx a^2\cdot 1{,}7204774.$

Allgemein mit dem Umkreisradius r_u

$A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}$

oder auch

$A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ} \approx r_u^2 \cdot 2{,}3776413.$

Seitenlänge

$a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ$

oder auch:

$a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt 5}{2}} \approx r_u \cdot 1{,}1755705$

zur Umrechnung siehe den Abschnitt über die als Quadratwurzeln angebbare Sinus- und Cosinus-Werte.

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Pentagramm

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d. h. AD verhält sich zu BD wie BD zu CD. Der Beweis nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis

Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge. Im Folgenden die Erläuterungen zur nebenstehenden Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung):

1. Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um den Mittelpunkt M.
2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein.
3. Halbiere einen Radius (gelb, Punkt D).
4. Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius DE um Punkt D. Er schneidet die Gerade AM im Punkt F. Die Strecke EF ist die Länge der Seite.
5. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Berechnung zur Konstruktion:

$\overline{EM}= r \cdot 1$

$\overline{DM}= r \cdot \frac{1}{2}$

$\overline{DE}= r \cdot \sqrt{1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2}$

$\overline{MF}= r \cdot \left(\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{2} \right)$

$\overline{EF}= r \cdot \sqrt{1 + \left( \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{2} \right)^2}$

Umformen des Faktors:

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \left( \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{1 + \left( \sqrt{\frac{5}{4}} -\frac{1}{2} \right)^2}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \left( \frac{\sqrt{5}}{2} -\frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{1 + \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^2}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \frac{ 5- 2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}} = \sqrt{ \frac{4}{4} + \frac{5-2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{\frac{4+5- 2 \cdot \sqrt{5} +1}{4}} = \sqrt{\frac{10- 2 \cdot \sqrt{5}}{4}}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{ \frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

Das entspricht genau dem Faktor in der obigen Formel für die Seitenlänge.

Die Seitenkanten des Dreiecks MEF entsprechen exakt den Seitenlängen des regelmäßigen Sechsecks (ME), des regelmäßigen Fünfecks (EF) und des regelmäßigen Zehnecks (FM) mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Mathematisch ausgedrückt:

1. Einen Kreis mit beliebigem Radius r mit dem Mittelpunkt M zeichnen und auf dem Durchmesser die Mittelsenkrechte konstruieren.
2. Die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreis werden mit A und X bezeichnet, die der Mittelsenkrechten mit E und Y. (X und Y fehlen in der Darstellung)
3. Zirkel in A einsetzen und AM=r auf dem Kreis abtragen. Die Schnittpunkte werden mit B und C bezeichnet. (gelber Kreis)
4. BC schneidet AM in D.
5. Zirkel in D einsetzen und DE auf AX abtragen, womit wir F erhalten.

ME ist die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, EF die des regelmäßigen Fünfecks und FM die des regelmäßigen Zehnecks mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Vorkommen

Natur

Okrafrüchte

Die Okra-Frucht hat im Querschnitt die Form eines Fünfecks. Die Blüten der Prunkwinde sind ebenfalls fünfeckig ausgebildet. Viele cyclische Verbindungen enthalten eine Fünfringstruktur (etwa Cyclopentan, γ-Butyrolacton, Furan, Furanosen etc.).

Architektur und Festungsbau

• 

  Zitadelle von Lille

• 

  Villa Farnese, Grundriss

• 

  Schloss Krzyżtopór

• 

  Pamplona im Jahr 1845

• 

  Satellitenaufnahme des Pentagon

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat häufig die Form eines Fünfecks. Anschauliche Beispiele für regelmäßige Fünfecke sind oder waren u. a. die vollständig wieder aufgebaute Festung Bourtange in den Niederlanden sowie Nyenschantz (heute in St. Petersburg), die Zitadelle von Jaca, die Zitadelle von Pamplona, die Festung Dömitz, die Zitadelle von Turin, die Zitadelle von ’s-Hertogenbosch, die Zitadelle von Straßburg, die 1598 abgebrochene Zitadelle von Vitry-le-François von Girolamo Marini, die verschwundene Zitadelle von Antwerpen, die Zitadelle von Doullens (Picardie, nur in Teilen auf regelmäßigem Grundriss), die Zitadelle von Lille, das Harburger Schloss, die Zitadelle Vechta, die Zitadelle von Münster, Nieuw-Amsterdam (Suriname), das Kastell von Kopenhagen, Tilbury Fort in Essex östlich von London und die Höhenfestung Wülzburg bei Weißenburg in Bayern. Den Typ des befestigten Palasts (Palazzo in fortezza) auf regelmäßig fünfeckigem Grundriss verkörpern die Villa Farnese, die Schlösser Krzyżtopór und Nowy Wiśnicz sowie die Befestigungen von Schloss Łańcut in Polen.

Auch das Pentagon in Washington nutzt das regelmäßige Fünfeck als Grundriss. Es spielt damit jedoch nicht auf den alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an, sondern erhielt seine Form, weil es ursprünglich an einer anderen Stelle errichtet werden sollte, an der die Grenzen des Grundstücks diese Form vorgaben.

Ein Fünfeck liegt auch der Anlage der Wallfahrtskirche Zelená Hora (Tschechische Republik) und der St. Michael (Detmold-Hiddesen) zugrunde.

Siehe auch: Fünfeckturm

Weblinks

 Commons: Fünfeck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wiktionary: Fünfeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Wikibooks: Fünfeck – Lern- und Lehrmaterialien