Faber-Jackson-Beziehung

Die Faber-Jackson-Beziehung ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen Leuchtkraft L und der Geschwindigkeitsdispersion $\sigma$ in elliptischen Galaxien. Die Leuchtkraft hängt proportional von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

$L\propto \sigma ^{\gamma }$

Der Index $\gamma$ liegt sehr nahe bei 4.

Entdeckt wurde dieser Zusammenhang zuerst von Robert Earl Jackson und Sandra M. Faber im Jahre 1976. Heute wird er vielfach verwendet, um auf die Geschwindigkeitsdispersion der Galaxie zu schließen.

Herleitung

Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu $\gamma =4$. Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab.

Die potentielle Energie einer selbstgravitierenden Masseverteilung von Radius R und Masse M ist

$U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

Die gesamte kinetische Energie ist

$T={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}$

Mit dem Virialtheorem ($2T+U=0$) folgt

$\sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}$.

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, $M\propto L$, kann M ersetzt werden und hat noch

$L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}$,

eine Beziehung zwischen R und der Geschwindigkeitsdispersion:

$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$.

Mit einer konstanten Oberflächenhelligkeit

$B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$

folgt

$L=4\pi R^{2}B$,

$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$,

und schlussendlich der gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion:

$L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}\propto \sigma ^{4}$,

Quellen

• Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.)

Siehe auch

• Tully-Fisher-Relation