Faddeeva-Funktion

Die Faddeeva-Funktion in der komplexen Zahlenebene

Die Faddeeva-Funktion (auch Kramp-Funktion oder relativistische Plasma-Dispersions-Funktion) ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion,

$w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).$

Sie ist verwandt mit den Fresnel-Integralen, den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil. Die Funktion ist nach Wera Nikolajewna Faddejewa benannt.

Eigenschaften

Real- und Imaginärteil

Für genauere Betrachtungen lässt sich $w\left(z\right)$ mit $z=x+iy$ wie folgt zerlegen:

$w(z)=V\left(x,y\right)+iL\left(x,y\right)$,

$V$ und $L$ stellen hierbei die reale und imaginäre Voigt-Funktion dar, da es sich bei $V(x,y)$ bis auf Vorfaktoren um das Voigt-Profil handelt.

Integraldarstellung

Die Faddeeva-Funktion besitzt die Integraldarstellung

$w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t\qquad \Im \left(z\right)>0$

sprich sie ist die Konvolution einer Gauß-Funktion und einer einfachen Polstelle.
Die reale und imaginäre Voigt-Funktion lassen sich in ähnlicher Weise darstellen:

$V\left(x,y\right)={\frac {y}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t$

$L\left(x,y\right)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(x-t\right)\ \cdot \ e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t$

Verhalten bei Vorzeichenumkehr

Bei einer Vorzeichenumkehr von $z$ kann bei Berechnungen auf die folgenden Zusammenhänge zurückgegriffen werden:

$w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)$

sowie

$w(-z)={\overline {w\left({\overline {z}}\right)}}$

${\overline {z}}$ ist die Konjugation von $z$.

Ableitung

In manchen Anwendungen muss nicht nur die Faddeeva-Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitungen berechnet werden, beispielsweise bei der Nichtlinearen Regression in der Spektroskopie. Ihre analytische Ableitung lautet:

${\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)$

Dieser Ausdruck kann auch herangezogen werden, um die Änderungen im Real- und Imaginärteil der Faddeeva-Funktion $\Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}$ und $\Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}$ nachzuvollziehen. Im Prinzip muss dafür das Produkt $z\cdot w\left(z\right)$ eingehender betrachtet werden. Mit der obigen Definition des Arguments $z=x+iy$, kann die Ableitung auch die in ihre partiellen Ableitungen nach $x$ und $y$ zerlegt werden:

${\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}$

${\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}$

${\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}$

${\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}$

Beziehungen zu anderen Funktionen

Dawsonsche Funktion

Es gilt folgende Beziehung zur Dawsonschen Funktion $D_{+}(x)$

$w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} (-ix)=e^{-x^{2}}+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}D_{+}(x).$

Komplementäre Fehlerfunktion

Für rein imaginäre Argumente $iy$ entspricht die Faddeeva-Funktion der skalierten Komplementären Fehlerfunktion $erfcx$

$w(iy)=\mathrm {erfcx} (y)=e^{y^{2}}\mathrm {erfc} (y)$,

mit der Komplementären Fehlerfunktion $erfc$.

Geschichte

Die Funktion wurde 1954 von Wera Faddejewa und Terentjew tabuliert. Sie erscheint als namenlose Funktion $w(z)$ im Standardwerk von Abramowitz-Stegun (1964), Formel 7.1.3. Der Name Faddeeva function wurde anscheinend 1990 von Poppe und Wijers eingeführt.

Implementierungen

Steven G. Johnson hat eine Implementierung als freie und offene Software veröffentlicht, die auf einer Kombination der Algorithmen 680 und 916 beruht. Sie liegt der Funktion scipy.special.wofz in der Python-Bibliothek SciPy zugrunde, und sie ist auch in Form einer C-Bibliothek libcerf verfügbar.
Für Matlab existiert eine öffentlich einsehbare Implementierung, die auf einer Approximation durch Fourierreihen sowie einer unendlichen Bruchdarstellung basiert.

Literatur

• W. Gautschi ACM Transactions on Mathematical Software (1969?): ACM Algorithmus 363.
• W. Gautschi SIAM J. Numer. Anal. 7, 187 (1970).
• G. P. M. Poppe, C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38–46 (1990): ACM Algorithm 680.
• J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497–1518 (1994): Besonders kompakter Algorithmus in 8 Zeilen Matlab.
• M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38, 15 (2011): ACM Algorithm 916.
• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894–1902 (2011).
• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Arxiv, Preprint 2012