Faktorgruppe

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Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe G unter Zuhilfenahme eines Normalteilers N \trianglelefteq G gebildet wird. Sie wird mit G/N bezeichnet.

Konstruktion[Bearbeiten]

Die Elemente von G/N sind hierbei die Nebenklassen bezüglich N, also

G/N := \{ gN : g \in G \}.

Schließlich benötigt man noch eine innere Verknüpfung \circ: G/N \times G/N \rightarrow G/N, nämlich

(gN) \circ (hN) := (gh)N.

Man kann aus der Normalteilereigenschaft von N zeigen, dass (G/N, \circ) eine Gruppe ist, die sogenannte Faktorgruppe von G nach N, und dass (gN) \circ (hN) mit dem Komplexprodukt (gN)\cdot(hN) übereinstimmt. Das neutrale Element von G/N ist N und das zu gN inverse Element ist durch g^{-1}N gegeben. Die Ordnung der Faktorgruppe G/N wird der Index von N in G genannt und mit (G:N) bezeichnet. Ist G eine endliche Gruppe, so gilt (G:N) = |G| / |N|.

Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe U einer Gruppe (G,\cdot) ein Normalteiler ist, wenn für alle g,h \in G die Gleichheit (gU)\cdot(hU)= (gh)U gilt.

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.

Beispiel[Bearbeiten]

Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen[Bearbeiten]

Die Gruppe (\mathbb{Z}, +) ist eine abelsche Gruppe. Für jedes n \in \mathbb{N} ist (n\mathbb{Z}, +) eine Untergruppe und insbesondere ein Normalteiler von (\mathbb{Z},+). Die Faktorgruppe \mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}) wird als Restklassengruppe modulo n bezeichnet. Sie hat genau n Elemente und bildet zusammen mit einer multiplikativen Verknüpfung den sogenannten Restklassenring.

Ihre Elemente werden als

[k] := k + (n\mathbb{Z}) = \{k+m\ :\ m \in n\mathbb{Z}\} = \{k+nz\ :\ z \in \mathbb{Z}\}

geschrieben und heißen Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo n. Es ist also

\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}) = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}.

Die innere Verknüpfung von \mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}) wird üblicherweise wieder mit + bezeichnet. In \mathbb{Z} /(5\mathbb{Z}) gilt beispielsweise

\ [3] + [4] = [2],

da 3 + 4 = 7 = 2 + 5, also (3+4) + 5\mathbb{Z} = 2 + 5\mathbb{Z}.

Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen[Bearbeiten]

Im Falle eines Gruppenhomomorphismus \alpha: G \rightarrow H zwischen zwei Gruppen G und H ist der Kern von \alpha ein Normalteiler von G und das Bild von \alpha eine Untergruppe von H. Daher ist \ G/{\rm ker}(\alpha) eine Faktorgruppe. Der Homomorphiesatz für Gruppen besagt, dass diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von \alpha ist.

Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe[Bearbeiten]

Die Abbildung \pi: G \rightarrow G/H mit g \mapsto gH mit Kern H ist ein Epimorphismus, also ein surjektiver Homomorphismus. Die universelle Eigenschaft besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus \varphi: G \rightarrow G' mit H \subseteq ker(\varphi) genau ein Gruppenhomomorphismus \varphi': G/H \rightarrow G' mit  \varphi = \varphi' \circ \pi existiert.

Beispiel: Sei \pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei \varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} Gruppenhomomorphismus. Dann liegt 6\mathbb{Z} im Kern von \varphi und \varphi': \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} ergibt sich zu:

\varphi'([0]) = [0]

\varphi'([1]) = [1]

\varphi'([2]) = [2]

\varphi'([3]) = [0]

\varphi'([4]) = [1]

\varphi'([5]) = [2].

Dabei stehen links die Restklassen modulo 6 und rechts die Restklassen modulo 3.

Literatur[Bearbeiten]