Faktorgruppe

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Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe G unter Zuhilfenahme eines Normalteilers N \trianglelefteq G gebildet wird. Sie wird mit G/N bezeichnet.

Konstruktion[Bearbeiten]

Die Elemente von G/N sind hierbei die Nebenklassen bezüglich N, also

G/N := \{ gN : g \in G \}.

Schließlich benötigt man noch eine innere Verknüpfung \circ: G/N \times G/N \rightarrow G/N, nämlich

(gN) \circ (hN) := (gh)N.

Man kann aus der Normalteilereigenschaft von N zeigen, dass (G/N, \circ) eine Gruppe ist, die sogenannte Faktorgruppe von G nach N, und dass (gN) \circ (hN) mit dem Komplexprodukt (gN)\cdot(hN) übereinstimmt. Das neutrale Element von G/N ist N und das zu gN inverse Element ist durch g^{-1}N gegeben.

Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe U einer Gruppe (G,\cdot) ein Normalteiler ist, wenn für alle g,h \in G die Gleichheit (gU)\cdot(hU)= (gh)U gilt.

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.

Die Ordnung der Faktorgruppe G/N ist gerade die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen, die Index von N in G genannt und mit (G:N) bezeichnet wird. Ist G eine endliche Gruppe, so gilt mit dem Satz von Lagrange (G:N)=|G/N| = |G| / |N|.

Beispiel[Bearbeiten]

Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen[Bearbeiten]

Die Gruppe (\mathbb{Z}, +) ist eine abelsche Gruppe. Für jedes n \in \mathbb{N} ist (n\mathbb{Z}, +) eine Untergruppe und insbesondere ein Normalteiler von (\mathbb{Z},+). Die Faktorgruppe \mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}) wird als Restklassengruppe modulo n bezeichnet. Sie hat genau n Elemente und bildet zusammen mit einer multiplikativen Verknüpfung den sogenannten Restklassenring.

Ihre Elemente werden als

[k] := k + (n\mathbb{Z}) = \{k+m\ :\ m \in n\mathbb{Z}\} = \{k+nz\ :\ z \in \mathbb{Z}\}

geschrieben und heißen Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo n. Es ist also

\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}) = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}.

Die innere Verknüpfung von \mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}) wird üblicherweise wieder mit + bezeichnet. In \mathbb{Z} /(5\mathbb{Z}) gilt beispielsweise

\ [3] + [4] = [2],

da 3 + 4 = 7 = 2 + 5, also (3+4) + 5\mathbb{Z} = 2 + 5\mathbb{Z}.


  • Beispiel : Sei \mathbb{Z} die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Operation addition und sei <6> die zyklische Untergruppe von \mathbb{Z} die alle vielfachen von 6 (addition) enthält. Die Gruppe Z ist abelsch und somit ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Die Faktorgruppe \mathbb{Z}/<6> besteht nun aus allen Nebenklassen der Untergruppe <6>, dies sind :


<6>+0= \{...,-18, -12, -6, 0, 6, 12, 18,... \}

<6>+1= \{...,-17, -11, -5, 1, 7, 13, 19,... \}

<6>+2= \{...,-16, -10, -4, 2, 8, 14, 20,... \}

<6>+3= \{...,-15, -9, -3, 3, 9, 15, 21,... \}

<6>+4= \{...,-14, -8, -2, 4, 10, 16, 22,... \}

<6>+5= \{...,-13, -7, -1, 5, 11, 17, 23,... \}


Dies sind alle Nebenklassen von <6>, wie man leicht sehen kann, da sie die Gruppe \mathbb{Z} partitionieren und <6>+6=<6>+0, <6>+7=<6>+1, <6>+8=<6>+2 und so weiter. Da die Operation in \mathbb{Z} addition ist, nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition (da Untergruppe) und es gilt (<6>+3)+(<6>+4)=<6>+7=<6>+1 usw.. In Kurzfassung \hat{0}=<6>+0, \hat{1}=<6>+1, \hat{2}=<6>+2, \hat{3}=<6>+3, \hat{4}=<6>+4, \hat{5}=<6>+5. \mathbb{Z}/<6> besteht demnach aus den 6 Elementen \hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5} und ergibt die Verknüpfungstabelle die gleich der Verknüpfungstabelle von \mathbb{Z}_{6} ist. Somit ist \mathbb{Z}/<6> \cong \mathbb{Z}_{6}.

+ \hat{0} \hat{1} \hat{2} \hat{3} \hat{4} \hat{5}
\hat{0} \hat{0} \hat{1} \hat{2} \hat{3} \hat{4} \hat{5}
\hat{1} \hat{1} \hat{2} \hat{3} \hat{4} \hat{5} \hat{0}
\hat{2} \hat{2} \hat{3} \hat{4} \hat{5} \hat{0} \hat{1}
\hat{3} \hat{3} \hat{4} \hat{5} \hat{0} \hat{1} \hat{2}
\hat{4} \hat{4} \hat{5} \hat{0} \hat{1} \hat{2} \hat{3}
\hat{5} \hat{5} \hat{0} \hat{1} \hat{2} \hat{3} \hat{4}

Damit hat man ein rigoroses Verfahren mit dem man Untergruppen wie Z_{6} konstruieren kann. Weiterhin hat man damit die Möglichkeit ungewollte Eigenschaften einer Gruppe zu "streichen". Z.B. Sei G eine beliebige Gruppe (nicht abelsch) und H die Untergruppe (normalteiler Eigenschaft angenommen) von G die alle Kommutatoren enthält dann ist G/H eine abelsche Gruppe. Es wurden also alle Kommutatoren herausfaktorisiert.

Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen[Bearbeiten]

Seien G und H zwei Gruppen und \varphi: G \rightarrow H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von \varphi ein Normalteiler von G und daher kann die Faktorgruppe G/\ker \varphi gebildet werden. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von \varphi, das eine Untergruppe von H ist.

Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe[Bearbeiten]

Die Abbildung \pi: G \rightarrow G/H mit g \mapsto gH mit Kern H ist ein Epimorphismus, also ein surjektiver Homomorphismus. Die universelle Eigenschaft besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus \varphi: G \rightarrow G' mit H \subseteq ker(\varphi) genau ein Gruppenhomomorphismus \varphi': G/H \rightarrow G' mit  \varphi = \varphi' \circ \pi existiert.

Beispiel: Sei \pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei \varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} Gruppenhomomorphismus. Dann liegt 6\mathbb{Z} im Kern von \varphi und \varphi': \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} ergibt sich zu:

\varphi'([0]) = [0]

\varphi'([1]) = [1]

\varphi'([2]) = [2]

\varphi'([3]) = [0]

\varphi'([4]) = [1]

\varphi'([5]) = [2].

Dabei stehen links die Restklassen modulo 6 und rechts die Restklassen modulo 3.

Literatur[Bearbeiten]