Fakultät (Mathematik)

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n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
10 3.628.800
20 2,432… · 1018
50 3,041… · 1064
100 9,332… · 10157

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté „Fähigkeit“ dafür einführte.

Definition[Bearbeiten]

Für alle natürlichen Zahlen n ist

n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot n = \prod_{k=1}^n k

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert. Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt außerdem

0! = 1

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

n! =\begin{cases} 1, &n=0 \\ n\cdot (n-1)!, &n>0\end{cases}

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert.

Beispiele[Bearbeiten]

\begin{align}
0! &= 1\\
1! &= 1\\
2! &= 1 \cdot 2 = 2\\
3! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\\
4! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\\
5! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120
\end{align}

Die Werte der Fakultäten bilden Folge A000142 in OEIS.

Explizite Fakultätswerte von 0 bis 20
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5.040
8! 40.320
9! 362.880
10! 3.628.800
11! 39.916.800
12! 479.001.600
13! 6.227.020.800
14! 87.178.291.200
15! 1.307.674.368.000
16! 20.922.789.888.000
17! 355.687.428.096.000
18! 6.402.373.705.728.000
19! 121.645.100.408.832.000
20! 2.432.902.008.176.640.000

Anwendungen[Bearbeiten]

Permutationen[Bearbeiten]

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil n! die Anzahl der Möglichkeiten ist, n unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls X eine n-elementige Menge ist, so ist n! auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen X\to X (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall n=0, da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen sechs Fahrern 6! verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher  6 \cdot 5 Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer  6 \cdot 5 \cdot 4 Belegungsmöglichkeiten ergeben, usw. Letztlich gibt es also

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten[Bearbeiten]

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

{n\choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge auszuwählen. Hier ist das beliebteste Beispiel, das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

{49\choose 6} = \frac{49!}{6!\,(49-6)!} = 13\,983\,816

Möglichkeiten.

Taylorreihen[Bearbeiten]

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Eulersche Zahl[Bearbeiten]

Die eulersche Zahl \mathrm{e} lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

\mathrm{e}=\sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} = \frac 1{0!} + \frac 1{1!}+ \frac 1{2!}+ \frac 1{3!}+ \frac 1{4!}+\ldots

Numerische Berechnung[Bearbeiten]

Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls n nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist 69! \approx 1{,}7\cdot 10^{98}, da 70! \approx 1{,}2\cdot 10^{100} außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist 170! \approx 7{,}3\cdot 10^{306}.

Wenn n groß ist, bekommt man eine gute Näherung für n! mit Hilfe der Stirling-Formel:

n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^n

Dabei bedeutet \sim, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für n\to\infty gegen 1 konvergiert.

Pythonprogramm[Bearbeiten]

Umsetzung der Fakultätberechnung in ein Pythonprogramm (in der Programmiersprache Python kann mit beliebig großen ganzen Zahlen gerechnet werden, Grenzen setzt lediglich der verfügbare Speicher).

Auf einem Intel Pentium 4 benötigt zum Beispiel die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

#!/usr/bin/python
# Syntax: Python 3.3.0
n = int(input('Fakultaet von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print(n,'! = ',f,sep='')
#!/usr/bin/python
# Syntax: Python 2.7
n = int(raw_input('Fakultaet von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print n,'! = ',f

Fakultät-ähnliche Funktionen[Bearbeiten]

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion[Bearbeiten]

Die Gammafunktion \Gamma (x) verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

n! = \Gamma(n+1), \qquad n\in\N
\Gamma(x)=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t} \mathrm dt

Faktorielle[Bearbeiten]

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen (n)_k und (n)^k dar, denn (n)_n = (1)^n = n!.

Primorial (Primfakultät)[Bearbeiten]

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

n_\# =\prod_{p\le n,\; p \text{ prim}} p

Subfakultät[Bearbeiten]

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

!n = n! \cdot \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von n Elementen.

Doppelfakultät[Bearbeiten]

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist das Produkt

n!! = \begin{cases} n \cdot (n-2) \cdot (n-4)\cdot\ldots\cdot 2 & \mathrm{f\ddot ur}\ n\ \mathrm{gerade,} \\
n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot\ldots\cdot 1 & \mathrm{f\ddot ur}\ n\ \mathrm{ungerade,}\end{cases}[1]

wenn n > 0, außerdem definiert man 0!! = 1 und (−1)!! = 1 wie beim leeren Produkt. Zum Beispiel ist (2n-1)!! die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von  2n Elementen, auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf. Häufig werden stattdessen aber Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet:

(2k)!! = 2^k\cdot k!     und     (2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k\cdot k!}

Werden nicht ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, so dass n!! = n · (n−2)!! für alle ungeraden ganzen Zahlen n gilt. Man erhält die Formel n!! = \tfrac{1}{n+2} \cdot \tfrac{1}{n+4} \cdot\ldots\cdot \tfrac{1}{1} für ungerade n<0.

Beispiel

Die Anzahl P_{2n} der n -stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus 2n Elementen wird gegeben durch die Rekursion P_{2n} = (2n-1)P_{2n-2} mit Rekursionsanfang P_2 = 1 (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt P_{2n} = (2n-1)!!. Sollen z. B. 2n Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei 2 bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch \frac {P_{2n-2}} {P_{2n}} = \frac 1 {2n-1}.

Multifakultät[Bearbeiten]

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (n!!!), vierfache (n!!!!), ..., k-fache Fakultät (n!^{(k)}) rekursiv definiert als

 n!^{(k)} := \begin{cases} 
1 & \text{falls } n = 0 \\
n & \text{falls } 0 < n\leq k \\ 
n(n-k)!^{(k)} & \text{falls } n>k 
\end{cases}[2]

Superfakultät[Bearbeiten]

Der Begriff Superfakultät \mathrm{sf}(n) wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet;[3] die eine ist definiert als das Produkt der ersten Fakultäten:

\mathrm{sf}(n)=\prod_{i=1}^n i! = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot\ldots\cdot n! =G(n+2)[3]

mit der Barnes'schen Funktion G(n), die andere als mehrfache Potenz einer Fakultät

n\$ = \begin{matrix} \underbrace{ n!^{{n!}^{{\cdot}^{{\cdot}^{{\cdot}^{n!}}}}}} \\ n! \end{matrix}.

Hyperfakultät[Bearbeiten]

Die Hyperfakultät H_n ist für natürliche n folgendermaßen definiert:

H(n)=\prod_{i=1}^n i^i = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot \ldots \cdot n^n[4]

Sie kann durch die K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Verwandte Funktionen[Bearbeiten]

Primzahlexponenten[Bearbeiten]

Falls nicht die vollständige Zahl n! gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, so lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

v_p(n!) =\begin{cases} 
  0 & \text{falls } n<p \\ 
  \lfloor n/p\rfloor + v_p(\lfloor n/p\rfloor !) & \text{sonst}
\end{cases}

Hier steht v_p(k) für den Exponenten von p in der Primfaktorzerlegung von k.

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

\begin{align}
v_5(10{.}000!)
&=2{.}000+v_5(2{.}000!)=2{.}000+400+v_5(400!)\\
&=2{.}400+80+v_5(80!)=2{.}480+16+v_5(16!)\\
&=2{.}496+3+v_5(3!)=2{.}499
\end{align}

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Double Factorial. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Multifactorial. In: MathWorld (englisch).
  3. a b Eric W. Weisstein: Superfactorial. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld (englisch).

Weblinks[Bearbeiten]