Schwerebeschleunigung

Die Schwerebeschleunigung oder die Fallbeschleunigung (Formelzeichen meist $g$) ist die aus der Gravitationsbeschleunigung und der Zentrifugalbeschleunigung resultierende Beschleunigung einer Probemasse. Diese Beschleunigung erfährt ein Körper zum Beispiel beim freien Fall auf der Erdoberfläche oder der Oberfläche eines anderen Himmelskörpers. Die Gewichtskraft $F_G = m \cdot g$ eines Körpers ist proportional zur Schwerebeschleunigung und zur Masse m. Da der Wert der Schwerebeschleunigung vom Ort abhängt, an dem sich der Körper befindet, bezeichnet man $g$ auch als Ortsfaktor.

Einheiten

Die SI-Einheit der Schwerebeschleunigung ist $\frac {\mathrm{m}} {\mathrm{s}^2}$.

Im alten CGS-Einheitensystem heißt die Einheit Gal (nach Galileo Galilei), das in der Gravimetrie und Angewandten Geophysik oft in 1000 Milligal unterteilt wird:

$1 \,\mathrm{mGal} = 10^{-5}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.$

In der Astrophysik wird die Oberflächenschwerkraft häufig logarithmisch als log g ausgedrückt. Diese ist durch die Schwerkraft in CGS-Einheiten, also in cm/s², definiert, von deren Betrag dann der Logarithmus mit der Basis 10 berechnet wird. Es ist also eine Zahlenwertdarstellung. Beispiel: Bei Proxima Centauri beträgt log g = 10^5,20, entsprechend etwa 158.000 cm/s² bzw. 1.580 m/s². Wird der Wert durch 9,81 m/s² (den Wert auf der Erde) dividiert, so kommt man auf etwa die 162-fache Schwerkraft der Erde.

Berechnung

Allgemeine Berechnung

Im Gravitationsfeld eines Himmelskörpers erfährt ein Körper unabhängig von seiner Masse $m$ die Gravitationsbeschleunigung $\vec g_\text{Gravitation}$.

Die Schwerebeschleunigung (hier zur Deutlichkeit mit $\vec g_\text{Schwere}$ bezeichnet) setzt sich aus dieser Gravitationsbeschleunigung und der Zentrifugalbeschleunigung (aufgrund der Rotation des Himmelskörpers) zusammen:

$\vec g_\text{Schwere} = \vec g_\text{Gravitation} + \vec g_\text{Zentrifugal}$

Am Äquator sind Gravitationsbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung genau entgegengesetzt.

$g_\text{Schwere} = g_\text{Gravitation} - g_\text{Zentrifugal}$

Am Pol wirkt keine Zentrifugalbeschleunigung, da der Abstand von der Rotationsachse null ist.

$g_\text{Schwere} = g_\text{Gravitation}$

Die Gravitationsbeschleunigung im Abstand r vom Zentrum eines radialsymmetrischen Himmelskörpers lässt sich mit Hilfe der Gravitationskonstante G und der Masse des Himmelskörpers M aus dem newtonschen Gravitationsgesetz berechnen.

$g_\text{Gravitation} = \frac{G M}{r^2}$

Die Zentrifugalbeschleunigung lässt sich als Produkt des oben definierten Abstandes r und dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ berechnen. Bei T handelt es sich um die Zeit, die der Himmelskörper für eine vollständige Umdrehung um seine eigene Achse benötigt.

$g_\text{Zentrifugal} = \omega^2 r$ mit $\omega = \frac{2 \pi}{T}$

Beispiel Erde

→ Hauptartikel: Erdbeschleunigung

Die Erde rotiert um ihre eigene Achse. Das ist neben anderen Ursachen ein Grund dafür, dass ihre Gestalt nicht genau kugelförmig ist. Der Abstand zwischen den Polen ist etwas geringer als der Durchmesser am Äquator. Deshalb ist bei gleicher Höhe über der Erdoberfläche die Schwerebeschleunigung am Äquator etwas kleiner als an den Polen. Durch die Zentrifugalbeschleunigung, die an den Polen gleich Null und am Äquator am größten ist, wird die Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche weiter verkleinert. Insgesamt ist sie am Äquator um etwa ein halbes Prozent kleiner als an den Polen. Eine Berechnung mit Hilfe der Formel von Somigliana ergibt:

• $9{,}83219\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ an den Polen.
• $9{,}80620\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ auf dem 45. Breitengrad.
• $9{,}78033\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ am Äquator.
• $9{,}767\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ auf dem Chimborazo.

Je nach örtlicher Gegebenheit muss noch ein zusätzlicher Schweregradient berücksichtigt werden.

Messung

→ Hauptartikel: Gravimetrie

Die Schwerebeschleunigung kann mit Gravimetern auf µGal genau gemessen werden.

Die Methode des Pendelgravimeters beruht auf der Messung der Schwingungsdauer T eines Fadenpendels mit der Fadenlänge L. Wenn die Ausschläge des Pendels klein sind, dann gilt:

$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}.$

Mit einfachen Mitteln kann man auch mit einer Atwoodschen Fallmaschine die wirkende Schwerebeschleunigung bestimmen.

Zusammenhang mit der Gewichtskraft

→ Hauptartikel: Gewichtskraft

Während die Gravitationsbeschleunigung eines Körpers unabhängig von seiner Masse $m$ ist, ist die Gewichtskraft $\vec F_\mathrm{G}$ proportional zur Masse $m$ und durch die Beziehung

$\vec F_\mathrm{G} = m \, \vec g_\text{Schwere}$

gegeben. In diesem Zusammenhang wird die Schwerebeschleunigung auch in der Einheit $\frac {\mathrm{N}} {\mathrm{kg}}$ angegeben.

Schwere- und Gravitationsbeschleunigung ausgewählter Himmelskörper

Die Tabelle enthält die Gravitations-, die Zentrifugal- und die resultierende Schwerebeschleunigung der acht Planeten unseres Sonnensystems und des Mondes. Die Werte gelten für die Oberfläche am Äquator und sind in m/s². Das negative Vorzeichen der Zentrifugalbeschleunigung soll verdeutlichen, dass diese der Gravitationsbeschleunigung entgegengerichtet ist.

	Himmelskörper	Gravitationsbeschleunigung	Schwerebeschleunigung	Zentrifugalbeschleunigung
1	Merkur	03,70	03,70	0000000375!−3,75·10–6
2	Venus	08,87	08,87	00000000541!−5,41·10–7
3	Erde	09,798	09,780	000339!−0,0339
3,5!	Mond	01,62	01,62	000000123!−1,23·10–5
4	Mars	03,71	03,69	000171!−0,0171
5	Jupiter	24,79	23,12	0221!−2,21
6	Saturn	10,44	08,96	0167!−1,67
7	Uranus	08,87	08,69	0026!−0,262
8	Neptun	11,15	11,00	0029!−0,291