Faltung (Mathematik)

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Dieser Artikel behandelt die Faltung in der allgemeinen Funktionalanalysis. Für die Faltung zahlentheoretischer Funktionen siehe dort.

In der Funktionalanalysis, einem Teilbereich der Mathematik, beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lat. convolvere, „zusammenrollen“), einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion f*g liefert. Die Faltung kann daher als ein Produkt von Funktionen verstanden werden.

Anschaulich ist (f*g)(x) der gewichtete Mittelwert von f, wobei die Gewichtung durch g gegeben ist. Der Funktionswert f(\tau) wird dabei mit g(x-\tau) gewichtet. Dadurch erhält man für jedes x einen anderen gewichteten Mittelwert. Die resultierende „Überlagerung“ zwischen f und einer gespiegelten und verschobenen Version von g kann z. B. verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.

Definition[Bearbeiten]

Faltung für Funktionen auf Rn[Bearbeiten]

Die Faltung f*g zweier Funktionen f, g \colon \R^n \to \C ist definiert durch

(f*g)(x) := \int_{\R^n} f(\tau)g(x-\tau)\mathrm{d}\tau

Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt man den Raum der zulässigen Funktionen zunächst nicht ein und fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von x wohldefiniert ist.

Im Fall f, g \in \mathcal{L}^1(\R^n), also integrierbare Funktionen, deren uneigentliches Betragsintegral endlich ist, kann man zeigen, dass diese Voraussetzung immer erfüllt ist.[1] Also lässt sich die Faltung als Produkt auf \mathcal{L}^1(\R^n) auffassen.

Faltung periodischer Funktionen[Bearbeiten]

Für periodische Funktionen f und g einer reellen Variablen mit Periode T > 0 definiert man die Faltung als

(f * g)(t) = \frac{1}{T} \int_a^{a+T} f(\tau)g(t-\tau) \mathrm{d}\tau,

wobei sich die Integration über ein beliebiges Intervall mit Periodenlänge T erstreckt. Es ist f * g wiederum eine periodische Funktion mit Periode T.

Faltung für Funktionen auf Intervallen[Bearbeiten]

Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs \mathbb{D} setzt man f und g auf den gesamten Raum fort, um die Faltung ausführen zu können. Hierzu gibt es je nach Anwendung mehrere Ansätze.

Fortsetzung durch Null
Man setzt die Funktionen per Definition außerhalb des Definitionsbereiches durch die Nullfunktion fort: f\Big|_{\R^n\setminus\mathbb{D}} \equiv 0.
Periodische Fortsetzung
Man setzt die Funktionen außerhalb des Definitionsbereiches periodisch fort und verwendet die für periodische Funktionen definierte Faltung.

Im Allgemeinen ist die Faltung für derart fortgesetzte Funktionen nicht mehr wohldefiniert. Eine oft auftretende Ausnahme bilden stetige Funktionen mit kompaktem Träger f \in C_c(\mathbb{D}) \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{D}), die durch Null zu einer integrierbaren Funktion in \mathcal{L}^1(\R^n) fortsetzbar sind.

Bedeutung[Bearbeiten]

Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst ergibt die Dreieckfunktion.

Eine anschauliche Deutung der eindimensionalen Faltung ist die Gewichtung einer von der Zeit abhängigen Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion f an einer Stelle \tau gibt an, wie stark der um \tau zurückliegende Wert der gewichteten Funktion, also g(t-\tau), in den Wert der Ergebnisfunktion zum Zeitpunkt t eingeht.

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

Glättungskern[Bearbeiten]

Faltung mit der Gauß-Funktion.

Eine Methode, eine Funktion f zu „glätten“, besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern zu falten. Die entstehende Funktion F ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von f, und die Abweichung in der L1-Norm lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein d-dimensionaler Glättungskern (engl. mollifier) ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion j\colon\R^d\to\R_+, die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel B(0, 1) hat und das Integral 1, durch entsprechende Wahl einer Konstanten c, besitzt.

Ein Beispiel ist der eindimensionale Glättungskern

j(x) = \begin{cases}
c \cdot \exp\!\left(-\frac{1}{1-x^2}\right) & -1 < x < 1 \\0 & \text{sonst}\end{cases}

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für e \in (0,1] setzt:


j_e(x) = \frac{1}{e^d}\cdot j\left(\frac{x}{e}\right),
wobei j_e(x) = 0 für |x| > e.

Glaettungskerne j und j_1/2
Glättungskerne j und j1/2

Beispiele[Bearbeiten]

Sei

f \colon \R\to\R,\;x\mapsto \begin{cases}1 & -1 \le x \le 2 \\0 & \mathrm{ sonst}
\end{cases}.

Durch Faltung von f (rot dargestellt) mit dem Glättungskern j_{1/2} entsteht eine glatte Funktion F=f *j_{1/2} (blau dargestellt) mit kompaktem Träger, die von f in der L1-Norm um etwa 0,4 abweicht, d. h.


\int_{-\infty}^{\infty} |F(t)-f(t)| \mathrm{d}t < 0{,}4
.

Glaettung durch Faltung

Bei der Faltung mit j_e für e kleiner 1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

Eigenschaften der Faltung[Bearbeiten]

Algebraische Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Menge L^1(\R^n) bildet zusammen mit der Faltung einen kommutativen Ring, der kein neutrales Element besitzt. Im Detail gelten also die folgenden Eigenschaften:

f*g = g*f
f*(g*h) = (f*g)*h = f*g*h
f*(g+h) = (f*g) + (f*h)
  • Assoziativität mit der skalaren Multiplikation
a(f*g) = (af)*g = f*(ag)
Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

Ableitungsregel[Bearbeiten]

\mathrm{D}(f * g) = (\mathrm{D}f) * g = f * \mathrm{D}g

Dabei ist \mathrm{D}f distributionelle Ableitung von f. Falls f (total) differenzierbar ist, so stimmen distributionelle Ableitung und (totale) Ableitung überein. Zwei interessante Beispiele dazu sind:

Integration[Bearbeiten]

Sind f und g integrierbare Funktionen so gilt

\int_{\mathbb{R}^n}(f*g)(x)dx=\left(\int_{\mathbb{R}^n}f(x)dx\right)\left(\int_{\mathbb{R}^n}g(x)dx\right).

Dies ist eine einfache Folgerung aus dem Satz von Fubini.

Faltungstheorem[Bearbeiten]

Mittels der Fouriertransformierten


\mathcal{F}(f)(t)
  = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}}
      \int_{\R^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x,\quad 
f\in L^1(\mathbb{R}^n)

kann man die Faltung zweier Funktionen als Produkt ihrer Fouriertransformierten ausdrücken:

\mathcal{F}(f*g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \, \mathcal{F}(f)\cdot \mathcal{F}(g),\quad f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)

Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation. Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[2]:

\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(f\cdot g)

Spiegelungsoperator[Bearbeiten]

Es sei S der Spiegelungsoperator mit Sf(t)=f(-t) für alle t, dann gilt

  • (Sf * g)(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(-\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau = \int_{\mathbb{R}^n}f(\tau)g(\tau+t)\mathrm{d}\tau = S(f * Sg)(t) und
  • (Sf*Sg)(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(\tau)g(-t-\tau)\mathrm{d}\tau = S(f*g)(t).

Faltung dualer Lp-Funktionen ist stetig[Bearbeiten]

Sei f \in L^p(\R^n) und g \in L^{q}(\R^n) mit 1\le p,q\le \infty und \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1. Dann ist die Faltung f * g eine beschränkte stetige Funktion auf \R^n. Ist p\ne \infty\ne q, so verschwindet die Faltung im Unendlichen, ist also eine C_0-Funktion. Diese Aussage ist ebenfalls richtig, wenn f eine reelle Hardy-Funktion ist und g in BMO liegt.

Verallgemeinerte Young’sche Ungleichung[Bearbeiten]

Aus der Hölder’schen Ungleichung folgt die verallgemeinerte Young’sche Ungleichung

\|f * g\|_{L^r} \leq \|f\|_{L^p} \|g\|_{L^q}

für \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 + \tfrac{1}{r} und p, q, r \geq 1.

Faltung als Integraloperator[Bearbeiten]

Sei h \in L^2([0,2\pi]), dann kann man die Faltung auch als Integraloperator mit dem Integralkern h auffassen. Das heißt man kann die Faltung als Operator T_h \colon L^2([0,2\pi]) \to L^2([0,2\pi]) definiert durch

T_h f(s) := \frac{1}{2 \pi} \int_{[0,2\pi]} f(t) h(s-t) \mathrm{d} t

auffassen. Dies ist ein linearer und kompakter Operator, der außerdem normal ist. Sein adjungierter Operator ist gegeben durch

T_h^* f(s) = \frac{1}{2 \pi} \int_{[0,2\pi]} f(t) \overline{h(t-s)} \mathrm{d} t\,.

Außerdem ist T_h ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Diskrete Faltung[Bearbeiten]

In der digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun, die miteinander gefaltet werden sollen. In diesem Fall tritt an die Stelle des Integrals eine Summe und man spricht von der zeitdiskreten Faltung.

Definition[Bearbeiten]

Seien f, g\colon D \to\Bbb C Funktionen mit dem diskreten Definitionsbereich D  \subseteq \Bbb Z. Dann ist die diskrete Faltung definiert durch


(f * g)(n) = \sum_{k \in D} f(k) g(n - k)
.

Der Summationsbereich ist der gesamte Definitionsbereich D beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden f und g meist durch Nullen fortgesetzt.

Ist der Definitionsbereich endlich, so können die beiden Funktionen auch als Vektoren \vec f \in \C^{n_f}, respektive \vec g \in \C^{n_g} verstanden werden. Die Faltung ist dann gegeben als Matrix-Vektor-Produkt:

(f * g)(n) = \mathbf{G} \vec f

mit der Matrix


\mathbf{G} = \begin{bmatrix}
\vec g & 0      & 0      & \cdots & 0 \\
0      & \vec g & 0      & \cdots & 0 \\
\vdots & 0      & \vec g & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0      & 0      & 0      & \cdots & \vec g
\end{bmatrix}

mit \mathbf{G} \in m \times n_f und m = n_f + n_g - 1.[3]

Wenn man die Spalten von \mathbf{G} unter und über den \vec g periodisch fortsetzt, statt mit Nullen zu ergänzen, wird \mathbf{G} zu einer zyklischen Matrix, und man erhält die zyklische Faltung.

Anwendungen[Bearbeiten]

Das Produkt zweier Polynome f und g ist z. B. die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen haben stets nur endlich viele Summanden, die ungleich Null sind. Analog definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit endlichem Hauptteil.

Ein in Bezug auf die Rechenleistung effizienter Algorithmus für die Berechnung der diskreten Faltung ist die Schnelle Faltung, die sich ihrerseits auf die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation stützt.

Distributionen[Bearbeiten]

Die Faltung wurde von Laurent Schwartz, der als Begründer der Distributionentheorie gilt, auf Distributionen erweitert.[4]

Faltung mit einer Funktion[Bearbeiten]

Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung einer Distribution T mit einer Funktion \varphi \in C_c^\infty(\R^n). Diese ist definiert durch

(T * \varphi)(x) := T(\tau_x \varphi) = T(\varphi(x - \cdot)),

wobei \tau_x ein Translations- und Spiegelungsoperator ist, welcher durch \tau_x\phi(y) = \phi(x-y) definiert ist.

Faltung zweier Distributionen[Bearbeiten]

Seien u_1 und u_2 zwei Distributionen, wobei eine einen kompakten Träger hat. Dann ist für alle \varphi \in C_c^\infty(\R^n) die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch

(u_1 * u_2) * \varphi = u_1 * (u_2 * \varphi).

Eine weitergehende Aussage stellt sicher, dass es eine eindeutige Distribution u \in \mathcal{D}' gibt mit

 u_1 * (u_2 * \varphi) = u * \varphi

für alle \varphi \in C_c^\infty(\R^n) .

Algebraische Eigenschaften[Bearbeiten]

Seien u_1, u_2 und u_3 Distributionen, dann gilt

u_1 * u_2 = u_2 * u_1\,
u_1*(u_2+u_3) = (u_1*u_2) + (u_1*u_3)\,
  • Assoziativität mit der skalaren Multiplikation
a(u_1*u_2) = (au_1)*u_2 = u_1*(au_2)\,
Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

Faltungstheorem[Bearbeiten]

Mit \mathcal{F} wird die Fourier-Transformation von Distributionen bezeichnet. Sei nun u_1 \in S'(\R^n) eine temperierte Distribution und u_2 \in \mathcal{E'}(\R^n) eine Distribution mit kompaktem Träger. Dann ist u_1 * u_2 \in S'(\R^n) und es gilt

\mathcal{F}(u_1 * u_2) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(u_1) \cdot \mathcal{F}(u_2).

Topologische Gruppen[Bearbeiten]

Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z. B. einer lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar-Maß):

(f * g)(x) = \int_G f(t) g(x t^{-1}) \mathrm{d}m(t)\,

Dieser Faltungsbegriff spielt eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, deren wichtigsten Vertreter die Lie-Gruppen bilden. Die Algebra der integrierbaren Funktionen mit dem Faltungsprodukt ist für kompakte Gruppen das Analogon zum Gruppenring einer endlichen Gruppe. Weiterführende Themen sind:

Anwendung[Bearbeiten]

  • In der Optik können verschiedenste Bildstörungen als Faltung des Originalbildes mit einem entsprechenden Kern modelliert werden. In der digitalen Bildbearbeitung wird die Faltung daher benutzt, um solche Effekte zu simulieren. Auch andere digitale Effekte beruhen auf der Faltung. Bei der Richtungsbestimmung von Bildkanten sind 3x3 und 5x5 Faltungen essentiell.
  • Bei einem linearen, zeitinvarianten Übertragungsglied ergibt sich die Antwort auf eine Anregung durch Faltung der Anregungsfunktion mit der Impulsantwort des Übertragungsglieds. Beispielsweise stellt die lineare Filterung eines elektronischen Signals die Faltung der Original-Funktion mit der Impulsantwort dar.
  • In der Akustik (Musik) wird die Faltung (unter Zuhilfenahme der FFT = schnelle Fouriertransformation) auch zur digitalen Erzeugung von Hall und Echos und zur Anpassung von Klangeigenschaften verwendet. Dazu wird die Impulsantwort des Raumes, dessen Klangcharakteristik man übernehmen möchte, mit dem Signal, das man beeinflussen möchte, gefaltet.
  • In der Ingenieurmathematik und der Signalverarbeitung werden Eingangssignale (äußere Einflüsse) mit der Impulsantwort (Reaktion des betrachteten Systems auf einen Diracimpuls als Signaleingang, auch Gewichtsfunktion) gefaltet, um die Antwort eines LTI-Systems auf beliebige Eingangssignale zu berechnen. Die Impulsantwort ist nicht zu verwechseln mit der Sprungantwort. Erstere beschreibt die Gesamtheit aus System und einem Dirac-Impuls als Eingangs-Testfunktion, letztere die Gesamtheit aus System und einer Sprungfunktion als Eingangs-Testfunktion. Die Berechnungen finden meist nicht im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich statt. Dazu müssen sowohl vom Signal als auch von der das Systemverhalten beschreibenden Impulsantwort Spektralfunktionen im Frequenzbereich vorliegen, oder ggf. aus dem Zeitbereich per Fouriertransformation oder einseitiger Laplacetransformation dorthin transformiert werden. Die entsprechende Spektralfunktion der Impulsantwort wird Frequenzgang oder Übertragungsfunktion genannt.
  • In der numerischen Mathematik erhält man durch Faltung der Boxfunktion N^0(t) mit N^{k-1}(t) die B-Spline Basisfunktion N^k(t) für den Vektorraum der stückweisen Polynome vom Grad k.
  • Ebenfalls in der numerischen Mathematik kann die Faltung für eine effiziente Berechnung der Multiplikation vielstelliger Zahlen eingesetzt werden, da die Multiplikation im Wesentlichen eine Faltung mit nachfolgendem Übertrag darstellt. Die Komplexität dieses Vorgehens ist mit \mathcal{O}(n \cdot \log{(n)}) nahe linear, während das „Schulverfahren“ quadratischen Aufwand \mathcal{O}(n^2) hat, wobei n die Zahl der Stellen ist. Dies lohnt sich trotz des zusätzlichen Aufwands, der hierbei für die Fouriertransformation (und deren Umkehrung) erforderlich ist.
  • In der Hydrologie verwendet man die Faltung, um den durch ein Niederschlags-Abfluss Ereignis produzierten Abfluss in einem Einzugsgebiet bei vorgegebener Menge und Dauer des Niederschlages zu berechnen. Dazu wird der sogenannte "Unit-Hydrograph" (Einheits- Abflussganglinie) - die Abflussganglinie auf einen Einheitsniederschlag von vorgegebener Dauer - mit der zeitlichen Funktion des Niederschlages gefaltet.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Allgemeiner kann auch f \in \mathcal{L}^p(\R^n) für ein p \in [1;\infty] und g \in \mathcal{L}^1(\R^n) vorausgesetzt werden. Vgl. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Abschnitt 7.1
  2. Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten. Z. B. wie in Fouriertransformation für Fußgänger, Tilman Butz, Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, Google Books
  3. http://www.dt.e-technik.uni-dortmund.de/lehre/tgit/documents/tgit_folien2010.pdf
  4. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 447.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Convolution – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien