Faltung (Mathematik)

In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lat. convolvere, „zusammenrollen“), einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert.

Anschaulich kann die Faltung dadurch beschrieben werden, dass jeder Wert von f durch das mit g gewichtete Mittel der ihn umgebenden Werte ersetzt wird. Die daraus resultierende „Überlagerung“ zwischen f und einer gespiegelten und verschobenen Version von g oder „Verschmierung“ von f kann z.B. verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.

Definition

Faltung für Funktionen auf Rⁿ

Die Faltung $f*g$ zweier Funktionen $f, g \colon \R^n \to \C$ ist definiert durch

$(f*g)(x) := \int_{\R^n} f(\tau)g(x-\tau)\mathrm{d}\tau$

Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt man den Raum der zulässigen Funktionen zunächst nicht ein und fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von $x$ wohldefiniert ist.

Im Fall $f, g \in \mathcal{L}^1(\R^n)$, also integrierbare Funktionen, deren uneigentliches Betragsintegral endlich ist, kann man zeigen, dass diese Voraussetzung immer erfüllt ist. Also lässt sich die Faltung als Produkt auf $\mathcal{L}^1(\R^n)$ auffassen.

Faltung periodischer Funktionen

Für periodische Funktionen $f$ und $g$ einer reellen Variablen mit Periode $T > 0$ definiert man die Faltung als

$(f * g)(t) = \frac{1}{T} \int_a^{a+T} f(\tau)g(t-\tau) \mathrm{d}\tau$,

wobei sich die Integration über ein beliebiges Intervall mit Periodenlänge $T$ erstreckt. Es ist $f * g$ wiederum eine periodische Funktion mit Periode $T$.

Faltung für Funktionen auf Intervallen

Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs $\mathbb{D}$ setzt man $f$ und $g$ auf den gesamten Raum fort, um die Faltung ausführen zu können. Hierzu gibt es je nach Anwendung mehrere Ansätze.

Fortsetzung durch Null

Man setzt die Funktionen per Definition außerhalb des Definitionsbereiches durch die Nullfunktion fort: $f\Big|_{\R^n\setminus\mathbb{D}} \equiv 0$.

Periodische Fortsetzung

Man setzt die Funktionen außerhalb des Definitionsbereiches periodisch fort und verwendet die für periodische Funktionen definierte Faltung.

Im Allgemeinen ist die Faltung für derart fortgesetzte Funktionen nicht mehr wohldefiniert. Eine oft auftretende Ausnahme bilden stetige Funktionen mit kompaktem Träger $f \in C_c(\mathbb{D}) \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{D})$, die durch Null zu einer integrierbaren Funktion in $\mathcal{L}^1(\R^n)$ fortsetzbar sind.

Bedeutung

Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst ergibt die Dreieckfunktion.

Eine anschauliche Deutung der eindimensionalen Faltung ist die Gewichtung einer von der Zeit abhängigen Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion $f$ an einer Stelle $\tau$ gibt an, wie stark der um $\tau$ zurückliegende Wert der gewichteten Funktion, also $g(t-\tau)$, in den Wert der Ergebnisfunktion zum Zeitpunkt $t$ eingeht.

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

Glättungskern

Faltung mit der Gauß-Funktion.

Eine Methode, eine Funktion f zu „glätten“, besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern zu falten. Die entstehende Funktion F ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von f, und die Abweichung in der L1-Norm lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein d-dimensionaler Glättungskern (engl. mollifier) ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion $j\colon\R^d\to\R_+$, die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel B(0, 1) hat und das Integral 1, durch entsprechende Wahl einer Konstanten c, besitzt.

Ein Beispiel ist der Glättungskern

$j(x) = \begin{cases} c \cdot \exp\!\left(-\frac{1}{1-x^2}\right) & -1 < x < 1 \\0 & \mathrm{ sonst}\end{cases}$

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für e eine Zahl zwischen 0 und 1 setzt:

$j_e(x) = \frac{1}{e^d}\cdot j\left(\frac{x}{e}\right),$ wobei $j_e(x) = 0$ für $|x| > e$.

Glättungskerne j und j_1/2

Beispiele

Sei

$f \colon \R\to\R,\;x\mapsto \begin{cases}1 & -1 \le x \le 2 \\0 & \mathrm{ sonst} \end{cases}$.

Durch Faltung von $f$ (rot dargestellt) mit dem Glättungskern $j_{1/2}$ entsteht eine glatte Funktion $F=f *j_{1/2}$ (blau dargestellt) mit kompaktem Träger, die von f in der L₁-Norm um etwa 0,4 abweicht, d.h.

$\int_{-\infty}^{\infty} |F(t)-f(t)| \mathrm{d}t < 0{,}4$.

Bei der Faltung mit $j_e$ für e kleiner 1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

Eigenschaften der Faltung

Algebraische Eigenschaften

Die Menge $L^1(\R^n)$ bildet zusammen mit der Faltung einen kommutativen Ring, der kein neutrales Element besitzt. Im Detail gelten also die folgenden Eigenschaften:

• Kommutativität

$f*g = g*f$

• Assoziativität

$f*(g*h) = (f*g)*h = f*g*h$

• Distributivität

$f*(g+h) = (f*g) + (f*h)$

• Assoziativität mit der skalaren Multiplikation

$a(f*g) = (af)*g = f*(ag)$

Wobei $a$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Ableitungsregel

$\mathrm{D}(f * g) = (\mathrm{D}f) * g = f * \mathrm{D}g$

Dabei ist $\mathrm{D}f$ distributionelle Ableitung von $f$. Falls $f$ (total) differenzierbar ist, so stimmen distributionelle Ableitung und (totale) Ableitung überein. Zwei interessante Beispiele dazu sind:

• $(f*D\delta)(x)=Df(x)$, wobei $D\delta$ die Ableitung der Delta-Distribution ist. Die Ableitung lässt sich also als Faltungsoperator auffassen.
• $(f*\Theta)(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t$, wobei $\Theta$ die Sprungfunktion ist, ergibt eine Stammfunktion für $f$.

Integration

Sind $f$ und $g$ integrierbare Funktionen so gilt

$\int_{\mathbb{R}^n}(f*g)(x)dx=\left(\int_{\mathbb{R}^n}f(x)dx\right)\left(\int_{\mathbb{R}^n}g(x)dx\right).$

Dies ist eine einfache Folgerung aus dem Satz von Fubini.

Faltungstheorem

$\mathcal{F}(f*g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \, \mathcal{F}(f)\cdot \mathcal{F}(g),\quad f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)$

Wobei $\mathcal{F}(f)$ die Fouriertransformierte von $f$ beschreibt. Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation. Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt:

$\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(f\cdot g)$

Spiegelungsoperator

Es sei $S$ der Spiegelungsoperator mit $Sf(t)=f(-t)$ für alle $t$, dann gilt

• $(Sf * g)(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(-\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau = \int_{\mathbb{R}^n}f(\tau)g(\tau+t)\mathrm{d}\tau = S(f * Sg)(t)$ und
• $(Sf*Sg)(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(\tau)g(-t-\tau)\mathrm{d}\tau = S(f*g)(t).$

Faltung dualer L^p-Funktionen ist stetig

Sei $f \in L^p(\R^n)$ und $g \in L^{q}(\R^n)$ mit $1\le p,q\le \infty$ und $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$. Dann ist die Faltung $f * g$ eine beschränkte stetige Funktion auf $\R^n$. Ist $p\ne \infty\ne q$, so verschwindet die Faltung im Unendlichen, ist also eine $C_0$-Funktion. Diese Aussage ist ebenfalls richtig, wenn $f$ eine reelle Hardy-Funktion ist und $g$ in BMO liegt.

Verallgemeinerte Young’sche Ungleichung

Aus der Hölder’schen Ungleichung folgt die verallgemeinerte Young’sche Ungleichung

$\|f * g\|_{L^r} \leq \|f\|_{L^p} \|g\|_{L^q}$

für $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 + \tfrac{1}{r}$ und $p, q, r \geq 1$.

Faltung als Integraloperator

Sei $h \in L^2([0,2\pi])$, dann kann man die Faltung auch als Integraloperator mit dem Integralkern $h$ auffassen. Das heißt man kann die Faltung als Operator $T_h \colon L^2([0,2\pi]) \to L^2([0,2\pi])$ definiert durch

$T_h f(s) := \frac{1}{2 \pi} \int_{[0,2\pi]} f(t) h(s-t) \mathrm{d} t$

auffassen. Dies ist ein linearer und kompakter Operator, der außerdem normal ist. Sein adjungierter Operator ist gegeben durch

$T_h^* f(s) = \frac{1}{2 \pi} \int_{[0,2\pi]} f(t) \overline{h(t-s)} \mathrm{d} t\,.$

Außerdem ist $T_h$ ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Diskrete Faltung

In der digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun. Hier seien die Funktionen $f, g\colon D \to\Bbb C$ gegeben. Dabei ist der Definitionsbereich $D \subseteq \Bbb Z$.

Die diskrete Faltung ist definiert als:

$(f * g)(n) = \sum_{k \in D} f(k) g(n - k)$

Der Summationsbereich ist der gesamte Definitionsbereich $D$ beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden $f$ und $g$ meist durch Nullen fortgesetzt. Man kann die beiden Funktionen auch als Vektoren $\vec f \in n_f \times 1$, respektive $\vec g \in n_g \times 1$ mit Längen $n_f$ und $n_g$ anschauen. Die Faltung ist dann gegeben als Matrix-Vektor-Produkt: $(f * g)(n) = \mathbf{G} \vec f$

$\mathbf{G} = \begin{bmatrix} \vec g & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \vec g & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & \vec g & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \vec g \end{bmatrix}$

mit $\mathbf{G} \in m \times n_f$ und $m = n_f + n_g - 1.$

Wenn man die Spalten von $\mathbf{G}$ unter und über den $\vec g$ periodisch fortsetzt, statt mit Nullen zu ergänzen, wird $\mathbf{G}$ zu einer zyklischen Matrix, und man erhält die zyklische Faltung.

Anwendungen

Das Produkt zweier Polynome $f$ und $g$ ist z.B. die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen haben stets nur endlich viele Summanden, die ungleich Null sind. Analog definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit endlichem Hauptteil.

Ein in Bezug auf die Rechenleistung effizienter Algorithmus für die Berechnung der diskreten Faltung ist die Schnelle Faltung, die sich ihrerseits auf die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation stützt.

Distributionen

Die Faltung wurde von Laurent Schwartz, der als Begründer der Distributionentheorie gilt, auf Distributionen erweitert.

Faltung mit einer Funktion

Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung einer Distribution $T$ mit einer Funktion $\varphi \in C_c^\infty(\R^n)$. Diese ist definiert durch

$(T * \varphi)(x) := T(\tau_x \varphi) = T(\varphi(x - \cdot)),$

wobei $\tau_x$ ein Translations- und Spiegelungsoperator ist, welcher durch $\tau_x\phi(y) = \phi(x-y)$ definiert ist.

Faltung zweier Distributionen

Seien $u_1$ und $u_2$ zwei Distributionen, wobei eine einen kompakten Träger hat. Dann ist für alle $\varphi \in C_c^\infty(\R^n)$ die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch

$(u_1 * u_2) * \varphi = u_1 * (u_2 * \varphi)$.

Eine weitergehende Aussage stellt sicher, dass es eine eindeutige Distribution $u \in \mathcal{D}'$ gibt mit

$u_1 * (u_2 * \varphi) = u * \varphi$

für alle $\varphi \in C_c^\infty(\R^n)$ .

Algebraische Eigenschaften

Seien $u_1$, $u_2$ und $u_3$ Distributionen, dann gilt

• Kommutativität

$u_1 * u_2 = u_2 * u_1\,$

• Distributivität

$u_1*(u_2+u_3) = (u_1*u_2) + (u_1*u_3)\,$

• Assoziativität mit der skalaren Multiplikation

$a(u_1*u_2) = (au_1)*u_2 = u_1*(au_2)\,$

Wobei $a$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

• Neutrales Element
  • $(u_1*\delta)=u_1\,$, wobei $\delta$ die Delta-Distribution ist.

Faltungstheorem

Mit $\mathcal{F}$ wird die Fourier-Transformation von Distributionen bezeichnet. Sei nun $u_1 \in S'(\R^n)$ eine temperierte Distribution und $u_2 \in \mathcal{E'}(\R^n)$ eine Distribution mit kompaktem Träger. Dann ist $u_1 * u_2 \in S'(\R^n)$ und es gilt

$\mathcal{F}(u_1 * u_2) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(u_1) \cdot \mathcal{F}(u_2)$.

Topologische Gruppen

Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z. B. einer lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar-Maß):

$(f * g)(x) = \int_G f(t) g(x t^{-1}) \mathrm{d}m(t)\,$

Dieser Faltungsbegriff spielt eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, deren wichtigsten Vertreter die Lie-Gruppen bilden. Die Algebra der integrierbaren Funktionen mit dem Faltungsprodukt ist für kompakte Gruppen das Analogon zum Gruppenring einer endlichen Gruppe. Weiterführende Themen sind:

• Satz von Peter-Weyl
• Harmonische Analyse

Anwendung

• In der Optik können verschiedenste Bildstörungen als Faltung des Originalbildes mit einem entsprechenden Kern modelliert werden. In der digitalen Bildbearbeitung wird die Faltung daher benutzt, um solche Effekte zu simulieren. Auch andere digitale Effekte beruhen auf der Faltung. Bei der Richtungsbestimmung von Bildkanten sind 3x3 und 5x5 Faltungen essentiell.

• Bei einem linearen, zeitinvarianten Übertragungsglied ergibt sich die Antwort auf eine Anregung durch Faltung der Anregungsfunktion mit der Impulsantwort des Übertragungsglieds. Beispielsweise stellt die lineare Filterung eines elektronischen Signals die Faltung der Original-Funktion mit der Impulsantwort dar.

• Faltungen werden genutzt, um spezielle Lösungen bestimmter partieller Differentialgleichungen zu konstruieren. Ist $G$ die Fundamentallösung des partiellen Differentialoperators $L$, so ist $G * f$ eine Lösung der partiellen Differentialgleichung $L u = f$.

• Diffusions-Prozesse lassen sich durch die Faltung beschreiben.

• Wenn X und Y zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit den Wahrscheinlichkeitsdichten f und g sind, dann ist die Dichte der Summe X+Y gleich der Faltung $f*g$.

• In der Akustik (Musik) wird die Faltung (unter Zuhilfenahme der FFT = schnelle Fouriertransformation) auch zur digitalen Erzeugung von Hall und Echos und zur Anpassung von Klangeigenschaften verwendet. Dazu wird die Impulsantwort des Raumes, dessen Klangcharakteristik man übernehmen möchte, mit dem Signal, das man beeinflussen möchte, gefaltet.

• In der Ingenieurmathematik und der Signalverarbeitung werden Eingangssignale (äußere Einflüsse) mit der Impulsantwort (Reaktion des betrachteten Systems auf einen Diracimpuls als Signaleingang, auch Gewichtsfunktion) gefaltet, um die Antwort eines LTI-Systems auf beliebige Eingangssignale zu berechnen. Die Impulsantwort ist nicht zu verwechseln mit der Sprungantwort. Erstere beschreibt die Gesamtheit aus System und einem Dirac-Impuls als Eingangs-Testfunktion, letztere die Gesamtheit aus System und einer Sprungfunktion als Eingangs-Testfunktion. Die Berechnungen finden meist nicht im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich statt. Dazu müssen sowohl vom Signal als auch von der das Systemverhalten beschreibenden Impulsantwort Spektralfunktionen im Frequenzbereich vorliegen, oder ggf. aus dem Zeitbereich per Fouriertransformation oder einseitiger Laplacetransformation dorthin transformiert werden. Die entsprechende Spektralfunktion der Impulsantwort wird Frequenzgang oder Übertragungsfunktion genannt.

• In der numerischen Mathematik erhält man durch Faltung der Boxfunktion $N^0(t)$ mit $N^{k-1}(t)$ die B-Spline Basisfunktion $N^k(t)$ für den Vektorraum der stückweisen Polynome vom Grad k.

• Ebenfalls in der numerischen Mathematik kann die Faltung für eine effiziente Berechnung der Multiplikation vielstelliger Zahlen eingesetzt werden, da die Multiplikation im Wesentlichen eine Faltung mit nachfolgendem Übertrag darstellt. Die Komplexität dieses Vorgehens ist mit $\mathcal{O}(n \cdot \log{(n)})$ nahe linear, während das „Schulverfahren“ quadratischen Aufwand $\mathcal{O}(n^2)$ hat, wobei $n$ die Zahl der Stellen ist. Dies lohnt sich trotz des zusätzlichen Aufwands, der hierbei für die Fouriertransformation (und deren Umkehrung) erforderlich ist.

• In der Hydrologie verwendet man die Faltung, um den durch ein Niederschlags-Abfluss Ereignis produzierten Abfluss in einem Einzugsgebiet bei vorgegebener Menge und Dauer des Niederschlages zu berechnen. Dazu wird der sogenannte "Unit-Hydrograph" (Einheits- Abflussganglinie) - die Abflussganglinie auf einen Einheitsniederschlag von vorgegebener Dauer - mit der zeitlichen Funktion des Niederschlages gefaltet.

Literatur

• N. Bourbaki: Integration. Springer, Berlin u.a. 2004, ISBN 3-540-41129-1.
• Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, Berlin u.a. 1995, ISBN 3-540-58654-7.

Weblinks

 Commons: Convolution – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Interaktive Visualisierung der Faltung als Java-Applet
• Interaktive Visualisierung der Faltung als Java-Applet für Diskrete Funktionen
• Java-Applet zur Visualisierung der Faltung
• Faltungsprinzip interaktiv mit Javascript visualisieren