Fast sichere Eigenschaften

Fast sicher ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie und äquivalent zu dem Begriff fast überall aus der Maßtheorie.

Definition

In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) heißt ein Ereignis $E \in \Sigma$ fast sicher, wenn es mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt, das heißt, wenn

$P(E)\;=\;1.$

Ein fast sicheres Ereignis tritt also nicht notwendig ein, sondern auf einer Menge vom Maß eins. Insbesondere ist das sichere Ereignis E = Ω auch fast sicher.

Analog heißt ein Ereignis $E \in \Sigma$ fast unmöglich, wenn

$P(E)\;=\;0.$

Ein fast unmögliches Ereignis kann also eintreten, aber nur auf einer Menge vom Maß null. Das unmögliche Ereignis $E\;=\;\empty$ ist auch fast unmöglich.

Beispiele

Bei einer Gleichverteilung auf dem Intervall $[0,1]\in\mathbb R$ gilt:

• Die Wahrscheinlichkeit, genau eine bestimmte Zahl zufällig zu treffen, ist 0, obwohl dieses Ereignis nicht unmöglich ist. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl aus dem Intervall außer einer bestimmten Zahl zu treffen, gleich 1, aber dieses Ereignis wird nicht mit Sicherheit eintreten.
• Auch die Wahrscheinlichkeit, irgendeine rationale Zahl zu treffen, ist 0, da es in diesem Bereich nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen gibt, deren Menge also nur das Lebesgue-Maß 0 hat. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine irrationale Zahl zu treffen, gleich 1, obwohl dieses Ereignis nicht eintreten muss.

Literatur

• Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft: Mathematik 1 für Nichtmathematiker. 7. Auflage. Oldenbourg, München, Wien 2006, ISBN 3-486-27407-4, Abschnitt 5.6, S. 178 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google Buchsuche)
• Gerd Christoph, Horst Hackel: Starthilfe Stochastik. Teubner, Stuttgart u.a. 2002, ISBN 3-519-00341-4, Abschnitt 2.6, S. 32 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google Buchsuche)