Fehlerintegral

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Das gaußsche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Es wird häufig mit \Phi bezeichnet und ist das Integral von -\infty bis z über die Dichtefunktion der Normalverteilung mit \mu = 0 und \sigma = 1. Da die gesamte Fläche unterhalb der Dichtekurve (auch Gauß-Glocke genannt) gleich 1 ist, ist der Wert des Fehlerintegrals für z\rightarrow\infty ebenfalls 1 (siehe Abschnitt Normierung).

Definition[Bearbeiten]

Das Fehlerintegral ist durch


\Phi(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt

definiert.

Lässt man das Integral erst bei 0 statt bei -\infty beginnen, so spricht man von \Phi_0:

\Phi_0(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_0^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt = \Phi(z)-\tfrac 12.

Zusammenhang zur gaußschen Fehlerfunktion[Bearbeiten]

Durch die Substitution x=\tfrac t{\sqrt 2} in den oben genannten Formeln und durch passende Umformungen lässt sich aus \Phi bzw. \Phi_0 die Fehlerfunktion

\operatorname{erfc}(z) = 2 \left(1-\Phi(\sqrt 2\,z)\right)

bzw.

\operatorname{erf}(z) = 2 \Phi_0(\sqrt 2\,z)

herleiten.

Anwendung[Bearbeiten]

Das Fehlerintegral gibt an, zu welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert \le z in einem gaußverteilten stochastischen Prozess (mit \mu=0, \sigma=1) enthalten ist. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert \ge z ermittelt werden, indem man \Phi(\infty)-\Phi(z)=1-\Phi(z) bildet.

Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung \sigma=1{,}25\mathrm V angenommen, das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich -5V...+5V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert nicht größer als -5V:

p_1 = \Phi(-5\mathrm V/\sigma) = \Phi(-4) = 0{,}317 \cdot 10^{-4}.

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert mindestens gleich +5V:

p_2 = \Phi(\infty) - \Phi(5\mathrm V/\sigma) = 1-\Phi(4) = 0{,}317 \cdot 10^{-4}.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Übertragungsfehler ergibt sich dann aus p=p_1+p_2

Normierung[Bearbeiten]

Um die Normiertheit \Phi( \infty )=1 nachzuweisen, berechnen wir

I := \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt.

Dieses Integral ist nach wie vor nicht elementar zu integrieren. Der entscheidende Trick für die Berechnung (angeblich von Poisson) ist, nun auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet anders zu parametrisieren:

\begin{align}
  I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right)\\
      &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\\
      &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\,\mathrm dy.
\end{align}

Grundlage für die erste Umformung ist die Linearität des Integrals.

Statt längs kartesischer Koordinaten wird über \R^2 nun längs Polarkoordinaten integriert, was der Substitution  x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi und daraus r^2 = x^2 + y^2 entspricht, und man erhält schließlich mit dem Transformationssatz

\begin{align}
  I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr\\
      &= 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr\\
      &= -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty\\
      &= 2 \pi.
\end{align}

Damit erhalten wir:

\lim_{z \to \infty} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt=\frac 1{\sqrt{2\pi}}I = 1.

siehe auch: Tabelle Standardnormalverteilung

Weblinks[Bearbeiten]