Fejér-Polynome

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In der Mathematik ist für eine 2\pi-periodische, stetige Funktion f, das heißt f \in \C_{2\pi}, das n-te Fejér-Polynom \sigma_n(f) definiert durch


\sigma_n(f)(x) := \sum_{k=-n}^{n} \left(1 - \frac{\left|k\right|}{n+1}\right)  \hat f (k) e^{ikx},

wobei


\hat f(k) := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}{\rm d}t

der k-te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede 2\pi-periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Konvergenzaussagen - Satz von Fejér[Bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Fejér

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe


\sigma_n(f)(x) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} S_k(f)(x),

wobei


S_k(f)(x) := \sum_{j=-k}^{k} \hat f (j) e^{ijx}

die k-te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede 2\pi-periodische, stetige Funktion f konvergiert die Folge der Fejér-Polynome \sigma_n(f) gleichmäßig gegen f, d.h.


f \in \C_{2\pi} \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \| \sigma_n(f) - f \|_{\C_{2\pi}} 
= \lim\limits_{n \to \infty} \left(\max\limits_{x\in [-\pi,\pi]} |\sigma_n(f)(x) - f(x)|\right) 
= 0.

Fejér-Kern[Bearbeiten]

Der n-te Fejér-Kern \sigma_n(x) ist definiert durch


\sigma_n(x) := \sum_{k=-n}^{n} \left(1 - \frac{\left|k\right|}{n+1}\right) e^{ikx}
.

Faltung[Bearbeiten]

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt


\sigma_n(f)(x) = (\sigma_n * f)(x) := \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sigma_n(x - t) {\rm d}t

Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns[Bearbeiten]

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns


\sigma_n(x) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} D_k(x)

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über


D_n(x) := \sum_{k=-n}^{n} e^{ikx}

Positiver reeller Kern[Bearbeiten]

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung


D_k(x) = 1 +2\sum_{j=1}^k \cos(j x) = \frac{\sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel


\sum_{k=0}^n \sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right) = \frac{\sin^2\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin\left(x/2\right)}

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.


\sigma_n(x) = \begin{cases}
  \frac{1}{n+1} \left(\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin(\frac{x}{2})}\right)^2  &,x \neq 2j\pi \\
  n + 1 &,x = 2j\pi

\end{cases}, j \in \Z

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen \sin und \cos die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen f \in \C_{2\pi} folgt.

Konvergenz in anderen Funktionenräumen[Bearbeiten]

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z.B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Quantitative Aussagen[Bearbeiten]

Für Hölder-stetige Funktionen f lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört f für ein 0 < \alpha \leq 1 zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen C^\alpha, d.h.


\|f(\cdot + h) - f(\cdot)\|_{\C_{2\pi}} = \mathcal O(|h|^\alpha), h \to 0,

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:


\|\sigma_n(f) - f\|_{\C_{2\pi}} = \begin{cases}
    \mathcal O(|\frac{1}{n}|^\alpha) &,0 < \alpha < 1 \\
    \mathcal O\left(\frac{\log(n)}{n}\right) &, \alpha = 1

\end{cases}, n \to \infty

Literatur[Bearbeiten]

  • N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
  • P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
  • Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53-82.
  • Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80-88.
  • Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.