Fibonacci-Primzahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Fibonacci-Primzahl (engl. Fibonacci prime) ist Gegenstand der Zahlentheorie. Es handelt sich um eine natürliche Zahl, welche die Eigenschaft besitzt, zugleich Fibonacci-Zahl und Primzahl zu sein[1].

Beispiele für Fibonacci-Primzahlen[Bearbeiten]

Die Folge der Fibonacci-Primzahlen beginnt mit folgenden zehn Zahlen (vgl. Folge A005478 in OEIS)[2][3]:

f_{3}     = 2
f_{4}     = 3
f_{5}     = 5
f_{7}     = 13
f_{11}    = 89
f_{13}    = 233
f_{17}    = 1597
f_{23}    = 28657
f_{29}    = 514229
f_{43}    = 433494437

In der Literatur werden bis dato als größte bekannte Fibonacci-Primzahlen

f_{81839}
f_{104911}
f_{130021}
f_{148091}
f_{201107}

genannt [4].

Es handelt sich um außerordentlich große Zahlen. Die Fibonacci-Primzahl f_{81839} etwa ist eine Zahl mit 17103 Dezimalziffern[5].

Primalitätsprüfung[Bearbeiten]

Es gibt eine Anzahl von Bedingungen, auf die man bei der Primalitätsprüfung der Fibonacci-Zahlen und ihrer Teilbarkeitseigenschaften zurückgreifen kann[6].

Eine dieser Bedingungen ist die folgende:

Für m, n \in \N und m > 2 ist m ein Teiler von n dann und nur dann, wenn f_{m} ein Teiler von f_{n} ist. [7]

Daraus ergibt sich die folgende wichtige Bedingung:

Ist n \neq 4 und f_{n} eine Fibonacci-Primzahl, so ist n selbst eine Primzahl.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Dies entnimmt man der Tatsache, dass man viele Fibonacci-Zahlen f_{p} vorfindet, deren Index  p eine Primzahl ist und die dennoch keine Fibonacci-Primzahlen sind. Die drei kleinsten Beispielfälle hierfür sind:

p = 19 mit f_{19} = 4181     = 37  \cdot 113
p = 31 mit f_{31} = 1346269  = 557 \cdot 2417
p = 37 mit f_{37} = 24157817 = 73  \cdot 149 \cdot 2221

Ungelöstes Problem[Bearbeiten]

Als eines der großen ungelösten Problem im Zusammenhang mit den Fibonacci-Primzahlen gilt die Frage:

Existieren unendlich viele Fibonacci-Primzahlen?

Der israelische Astrophysiker und Wissenschaftsautor Mario Livio schreibt dazu[8]:

… So, is there an infinite number of Fibonacci primes … ? No one actually knows, and this is probably the greatest unsolved mathematical mystery about Fibonacci numbers.

Die Lösung des Problems gilt nach Ansicht des britischen Mathematikers Richard K. Guy als sehr unwahrscheinlich, er schreibt[9]:

We are very unlikely to know for sure that the Fibonacci sequence …. contains infinitely many primes.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Fred Wayne Dodd: Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit. 3. Auflage. Polygonal Publishing House, Passaic, NJ 1983, ISBN 0-936428-08-2.
  •  Mario Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. Broadway Books, New York 2003, ISBN 0-7679-0816-3.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Livio: S. 237.
  2. Siehe  Guy: S. 17-18. und auch Weblink
  3. Der Index gibt die Position der jeweiligen Fibonacci-Primzahl in der Fibonacci-Folge an.
  4.  Guy: S. 18.
  5. a.a.O.
  6. Siehe etwa  Dodd: Number Theory in the Quadratic Field with Golden Section Unit. S. 119 ff.
  7.  Dodd: S. 120.
  8. a.a.O.
  9.  Guy: S. 17.