Gütefaktor

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Der Gütefaktor Q, auch Güte, Kreisgüte, Resonanzschärfe, Schwingkreisgüte, Polgüte oder Q-Faktor genannt, ist in der Elektrotechnik ein Maß für die Dämpfung eines schwingfähigen Systems (z. B. eines Schwingkreises). Dabei spricht man bei schwach gedämpft schwingenden Systemen von Systemen hoher Güte, da der Gütefaktor der Kehrwert des Verlustfaktors d (Dämpfung) ist:

Q = \frac{1}{d}

Definition[Bearbeiten]

Der Gütefaktor kann in einem schwingfähigen System als Relation der Gesamtenergie in Bezug zu dem auftretenden Energieverlust beschrieben werden:

Q 
=  2 \pi \ \frac{\mathrm{Gesamtenergie \ der \ Schwingung \ zur \ Zeit} \ t}{\mathrm{Energieverlust \ pro \ Periode \ zur \ Zeit} \ t}
= 2 \pi \ \frac{E(t)}{\left|\left(\frac{dE}{dt}\right)_t \cdot T \right|} \,

Ein Gütefaktor von 0,5 (bzw. eine Dämpfung von 2) entspricht in der Physik dem aperiodischen Grenzfall, bei dem es gerade keine Schwingung mehr gibt.

Alternativ und zu obiger Festlegung gleichwertig kann der Gütefaktor Q aus der Resonanzfrequenz f_0 (auch Mittenfrequenz genannt) bezogen auf die Bandbreite B festgelegt werden:

Q = \frac{f_0}{B}
Der Abstand f1 bis f2 heißt Bandbreite

Dabei ist die Bandbreite:

B = {f_2} - {f_1}

mit der oberen Grenzfrequenz f_2 und der unteren Grenzfrequenz f_1. In der Literatur wird statt der Frequenzenangabe f dazu gleichwertig auch die Angabe der Kreisfrequenz \omega verwendet.

Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite definiert als der Frequenzbereich, an dessen Grenzen sich der Spannungspegel um den linearen Faktor 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707 gegenüber dem Extremwert geändert hat; im logarithmischen Maß entspricht dies ungefähr -3 dB.

Ein großer Gütefaktor Q entspricht einer kleinen Bandbreite B und umgekehrt. Der Gütefaktor beschreibt nicht die Flankensteilheit eines Filters, dazu gehört auch der maximale Pegel der Anhebung bzw. Absenkung mit der Bandbreite. Wenn - bei konstantem Gütefaktor - der Pegel stark angehoben wird, erscheint eine größere Flankensteilheit des Filters links und rechts neben der Resonanzfrequenz als wenn der Pegel nur gering angehoben wird.

Elektrische Schwingkreise[Bearbeiten]

Reihenschaltung[Bearbeiten]

Für einen Reihenschwingkreis, dies ist im einfachsten Fall die Reihenschaltung eines Widerstandes R mit einer Spule der Induktivität L und einem Kondensator C, gilt:

\left | P_{\mathrm{Blind}} \right | = \omega_{\mathrm{0}} L \cdot {\underline I}^2 = \frac{{\underline I}^2}{\omega_{\mathrm{0}} C}
P_{\mathrm{Wirk}} = R\cdot {\underline I}^2

mit dem komplexen Strom I und der Kreisfrequenz \omega.

Für dieses System ergibt sich eine Güte von:

\Rightarrow Q = \frac{\omega_{\mathrm{0}} L}{R} = \frac{1}{R \cdot \omega_{\mathrm{0}} C} = \frac{1}{R} \cdot \sqrt{\frac{L}{C}}

Die dabei im Ausdruck auftretende Spulengüte stellt das Verhältnis des Blindwiderstandes X_L zum Wirkwiderstand R einer Spule dar:

Q = \frac{X_L}{R}

Parallelschaltung[Bearbeiten]

Kondensator, Spule und Widerstand parallel geschaltet

In Analogie dazu ergibt sich für einen Parallelschwingkreis, dies ist im einfachsten Fall eine Parallelschaltung von Spule, Kondensator und Widerstand, mit der komplexen Spannung U:

\left | P_{\mathrm{Blind}} \right | = \frac{{\underline U}^2}{\omega_{\mathrm{0}} L} = \omega_{\mathrm{0}} C \cdot {\underline U}^2
P_{\mathrm{Wirk}} = \frac{{\underline U}^2}{R}
\Rightarrow Q = \frac{R}{\omega_{\mathrm{0}} L} = R \cdot \omega_{\mathrm{0}} C = R \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}

Mechanik[Bearbeiten]

In der Mechanik ist bei einem Federpendel (Masse-Feder-System) der Gütefaktor Q gegeben als:

Q = \frac{\sqrt{M k}}{D}

mit M der Masse, k die Federkonstante und D der primär durch Reibungskräfte bestimmte Dämpfungsfaktor.

Beispiele[Bearbeiten]

In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben.

System Gütefaktor Q
Aperiodischer Grenzfall 0{,}5
Elektrodynamischer Lautsprecher typ. 0{,}2 \, ... \, 1{,}2
Elektrischer Schwingkreis 10^{2}
Pendeluhr 10^{4}
Schwingungstilger 10^{5}
Schwingquarz 10 MHz 3 \, ... \, 10 \cdot 10^5
Frequenzstabilisierter Laser 10^{9}
Cäsium-Atomuhr 10^{13}
Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung 10^{15}

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.