Finite-Elemente-Methode

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Darstellung der Wärmeverteilung in einem Pumpengehäuse mit Hilfe der Wärmeleitungsgleichung
Visualisierung einer FEM-Simulation der Verformung eines Autos bei asymmetrischem Frontalaufprall

Die Finite-Elemente-Methode (FEM), auch „Methode der finiten Elemente“ genannt, ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Sie ist ein weit verbreitetes modernes Berechnungsverfahren im Ingenieurwesen und ist das Standardwerkzeug bei der Festkörpersimulation. Das Verfahren liefert eine Näherungsfunktion an die exakte Lösung der Differentialgleichung, deren Genauigkeit durch die Erhöhung der Freiheitsgrade und damit des Rechenaufwandes verbessert werden kann.

Einführung[Bearbeiten]

Generiertes Strukturmodell eines Hubkolbens als Komponente eines Verbrennungsmotors zum Zwecke der Spannungsanalyse

Mit der FE-Methode können Probleme aus verschiedenen physikalischen Disziplinen berechnet werden, da es sich grundsätzlich um ein numerisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen handelt. Zunächst wird das Berechnungsgebiet in eine beliebig große Anzahl von Elementen unterteilt. Diese Elemente sind „endlich" (finit) und nicht unendlich (infinit) klein. Das Aufteilen des Gebiets in eine bestimmte Anzahl Elemente finiter Größe, die sich mit einer endlichen Zahl von Parametern beschreiben lassen, gab der Methode den Namen „Finite-Elemente-Methode".

Innerhalb dieser Elemente werden Ansatzfunktionen definiert (z. B. lokale Ritz-Ansätze je Element). Setzt man diese Ansatzfunktionen in die zu lösende Differentialgleichung ein, erhält man zusammen mit den Anfangs-, Rand- und Übergangsbedingungen ein Gleichungssystem, welches in der Regel numerisch gelöst wird. Die Größe des zu lösenden Gleichungssystems hängt maßgeblich von der Anzahl der finiten Elemente ab. Seine Lösung stellt letztlich die numerische Lösung der betrachteten Differentialgleichung dar.

Allgemeines Vorgehen[Bearbeiten]

Das untersuchte Lösungsgebiet G wird zunächst in Teilgebiete G_1,\dotsc,G_m\subset G, die finiten Elemente, eingeteilt:

G = \bigcup_{e=1}^m G_e.

Innerhalb G werden für die gesuchte Lösungsfunktion f\colon G\to\R^k nun verschiedene Ansatzfunktionen \psi_1,\dotsc,\psi_n:G\to\R^k definiert, die jeweils nur auf wenigen Elementen ungleich Null sind. Diese Eigenschaft ist der eigentliche Grund für die Bezeichnung „finite“ Elemente.

Durch eine Linearkombination der Ansatzfunktionen werden mögliche Lösungen der numerischen Näherung festgelegt

f(x) = \sum_{i=1}^n c_i\cdot\psi_i(x) \quad,c_i\in\R.

Da jede Testfunktion auf den meisten Elementen verschwindet, lässt sich umgekehrt die auf das Element G_e eingeschränkte Funktion f|G_e, durch die Linearkombination weniger Testfunktionen \psi_i beschreiben.

Lassen sich die Differentialgleichungen und die Randbedingungen des Problems als lineare Operatoren bzgl der Funktionen f darstellen, führt dies zu einem linearen Gleichungssystem bzgl. der freien Variablen der Linearkombination c_i:

D(c)=g

mit

D = Lineare Abbildung von \R^n in einen Funktionsraum
c = Vektor der Linearkombinationsfaktoren c_i
g = Funktion, die die Differentialgleichung und die Randbedingungen repräsentiert

Um ein endliches lineares Gleichungssystem zu erhalten, wird auch der Wertebereich von D über Ansatzfunktionen \phi_1,\dotsc,\phi_n modelliert. Dann lässt sich g über Linearkombinationen der \phi_i beschreiben:

g(x) = \sum_{i=1}^n b_i\cdot\phi_i(x) \quad,b_i\in\R

und man erhält insgesamt das Gleichungssystem

A\cdot c=b

mit

A = quadratische Matrix mit A=\phi^{-1}\cdot D
c = Vektor der Linearkombinationsfaktoren c_i
b = Vektor der Linearkombinationsfaktoren b_i

Die Dimension der Matrix ergibt sich aus der Anzahl der Ansatzfunktionen multipliziert mit den dem physikalischen Modell zugrunde liegenden Freiheitsgraden k. Die Dimension der Matrix ist die Anzahl der Gesamtfreiheitsgrade, wobei dem Modell entsprechende Festlegungen bezüglich der Eindeutigkeit des Problems (z. B. im Fall eines elastischen Körpers die Starrkörperverschiebungen) ausgeschlossen werden müssen.

Weil jedes Element nur mit wenigen benachbarten Elementen verbunden ist, sind die meisten Werte der Gesamtmatrix Null, so dass sie „dünnbesetzt“ ist. In den meisten Anwendungsfällen werden die gleichen Funktionen als Ansatzfunktionen \psi_i und Testfunktionen \phi_i verwendet. In diesem Fall ist die Matrix außerdem symmetrisch zu ihrer Hauptdiagonalen.

Ist die Anzahl der Freiheitsgrade nicht allzu groß (bis ca. 500.000), lässt sich dieses Gleichungssystem am effizientesten mittels eines direkten Verfahrens lösen, zum Beispiel mit dem gaußschen Eliminationsverfahren. Hierbei kann die dünnbesetzte Struktur des Gleichungssystems effektiv genutzt werden. Während beim Gauß-Algorithmus der Berechnungsaufwand für N Gleichungen \mathcal O(N^3) beträgt, lässt sich der Aufwand durch geschickte Pivotwahl (zum Beispiel Markowitz-Algorithmus oder graphentheoretische Ansätze) aber deutlich reduzieren.

Für mehr als 500.000 Unbekannte bereitet die schlechte Kondition des Gleichungssystems den direkten Lösern zunehmend Schwierigkeiten, so dass man für große Probleme im Allgemeinen iterative Löser, die schrittweise eine Lösung verbessern, verwendet. Einfache Beispiele dafür sind das Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren, praktisch werden aber eher Mehrgitterverfahren oder vorkonditionierte Krylow-Unterraum-Verfahren, wie das Verfahren der konjugierten Gradienten oder GMRES, verwendet. Aufgrund der Größe der Gleichungssysteme ist manchmal der Einsatz von Parallelrechnern nötig.

Ist die partielle Differentialgleichung nichtlinear, ist auch das resultierende Gleichungssystem nichtlinear. Ein solches lässt sich in der Regel nur über numerische Näherungsverfahren lösen. Ein Beispiel für ein solches Verfahren ist das Newton-Verfahren, in dem schrittweise ein lineares System gelöst wird.

Es gibt heute eine Vielzahl von kommerziellen Computerprogrammen, die nach der Methode der Finiten Elemente arbeiten.

Mathematische Herleitung[Bearbeiten]

Schwache Formulierung[Bearbeiten]

Eine Elliptische partielle Differentialgleichung lässt sich schwach formulieren, d. h. die Problemstellung kann auf eine Art ausgedrückt werden, die von der Lösung weniger Glattheit verlangt. Dies geschieht wie folgt.

Gegeben sei ein Hilbert-Raum H, ein Funktional (Funktion aus dessen Dualraum) f \in H':= \{g:\;H\rightarrow\mathbb{R}|\;g \text{ ist linear und stetig}\}, sowie eine auf H stetige und elliptische Bilinearform a(\cdot,\cdot), so heißt u \in H Lösung des Variationsproblems, wenn

a(u,v) = f(v)\ \forall v \in H.

Existenz und Eindeutigkeit der Lösung u liefert der Rieszsche Darstellungssatz (für den Fall, dass die Bilinearform a symmetrisch ist) bzw. das Lemma von Lax-Milgram (allgemeiner Fall).

Wir wissen, dass der Raum L^2(\Omega):=\{f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\ |\ \|f\|_{L^2} < \infty\} ein Hilbert-Raum ist. Ausgehend hiervon kann man die Sobolewräume H^s(\Omega) über die sogenannte schwache Ableitung definieren.

Das Problem a(u,v)=f(v) kann man als eine Variante einer partiellen Differentialgleichung auf einem Gebiet \Omega auffassen.

Das Poissonproblem als Beispiel:

-\Delta u(x) = f(x) \ \forall x \in \Omega
u(x) = 0 \ \forall x \in \partial \Omega

wobei hier \Delta den Laplace-Operator bezeichnet. Eine Multiplikation mit unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen \psi \in C^{\infty}_0(\Omega) ergibt nach einer Integration

\Leftrightarrow -\int_{\Omega}\Delta u \psi dx = \int_{\Omega}f \psi dx \ \forall\psi \in C^{\infty}_0(\Omega).

Eine partielle Integration (Erste Greensche Formel) sowie die Nullrandbedingungen für \psi liefern dann

\Leftrightarrow \int_{\Omega}\nabla u \nabla \psi dx = \int_{\Omega}f \psi dx \ \forall\psi \in C^{\infty}_0(\Omega)

Nun ist a(u,\psi):=\int_{\Omega}\nabla u \nabla \psi dx eine elliptische und stetige Bilinearform auf H^1_0(\Omega):=\overline{C^{\infty}_0(\Omega)}^{\|\cdot\|_{H^1}} , sowie die rechte Seite (f,\psi )_{L^2}=f(\psi) eine stetige Linearform auf H^1_0(\Omega)

Besitzt der betrachtete Funktionenraum/Hilbert-Raum eine endliche Basis, so kann man ein lineares Gleichungssystem aus der Variationsformulierung gewinnen.

Für Funktionenräume entscheidet die Wahl der Basis über die Effizienz des Verfahrens. Gängig sind hierbei die Verwendung von Splines mit Triangulierungen, sowie in bestimmten Fällen die diskrete Fourier-Transformation (Aufspaltung in Sinus und Cosinus).

Aufgrund von Flexibilitätsüberlegungen bezüglich der Geometrie des Gebietes \Omega wird in der Regel folgender Ansatz gewählt.

Man diskretisiert das Gebiet \Omega, indem man es in Dreiecke zerteilt und man benutzt Splines \lambda_p(x) , assoziiert mit den Eckpunkten p, um den endlichdimensionalen Funktionenraum auf \Omega aufzuspannen. Die Splines erfüllen an festgelegten Punkten auf den Dreiecken \lambda_p(q) = \delta_{pq} (wobei δ das Kronecker-Delta ist). Damit kann man dann eine diskrete Funktion u_h(x) darstellen durch

u_h(x) = \sum_p u_p\lambda_p(x)

mit u_p den Koeffizienten bezüglich der Basisdarstellung. Aufgrund der endlichen Basis muss man nicht mehr gegen alle \psi \in H^1_0 testen, sondern nur noch gegen alle Basisfunktionen, die Variationsformulierung reduziert sich aufgrund der Linearität auf

a(u_h, \lambda_q) = \sum_p u_p a(\lambda_p, \lambda_q) = (f, \lambda_q) \ \forall q

Also haben wir ein lineares Gleichungssystem zum Lösen gewonnen

A \cdot u=f,

mit

A_{pq} = a(\lambda_p, \lambda_q)

und

f_q = (f, \lambda_q)

Dieses Resultat erhält man mit jeder endlichen Basis des Hilbert-Raumes.

Diskretisierung[Bearbeiten]

Die gegebene Aufgabe wird diskretisiert, indem ganz allgemein das Grundgebiet in einfache Teilgebiete, die so genannten Elemente, in endlicher (finiter) Anzahl, zerlegt wird. Bei gewissen Aufgabenstellungen ist die Aufteilung in Elemente durch das Problem bereits weitgehend vorgegeben, zum Beispiel bei räumlichen Fachwerken, bei denen die einzelnen Stäbe die Elemente der Konstruktion bilden. Das gilt auch bei Rahmenkonstruktionen, wo die einzelnen Balken oder unterteilte Balkenstücke die Elemente der Aufgabe darstellen.

Bei zweidimensionalen Problemen wird das Grundgebiet in Dreiecke, Parallelogramme, krummlinige Dreiecke oder Vierecke eingeteilt. Selbst wenn nur geradlinige Elemente verwendet werden, erreicht man mit einer entsprechend feinen Diskretisierung eine recht gute Approximation (Annäherung) des Grundgebietes. Krummlinige Elemente erhöhen die Güte der Annäherung. Jedenfalls erlaubt diese Diskretisierung eine flexible und auch dem Problem angepasste Erfassung des Grundgebietes. Allerdings muss darauf geachtet werden, dass sehr spitze oder überstumpfe Winkel in den Elementknoten vermieden werden, um numerische Schwierigkeiten auszuschließen. Dann wird das gegebene Gebiet durch die Fläche der approximierenden Elemente ersetzt. Mit dem Patch-Test kann man später überprüfen, ob das gut gelungen ist.

Räumliche Probleme werden mit einer Diskretisierung des dreidimensionalen Gebietes in Tetraederelemente, Quaderelemente oder andere dem Problem angepasste, möglicherweise auch krummflächig berandete Elemente, dies sind i. d. R. Serendipity- oder Lagrange-Elemente, bearbeitet.

Die Feinheit der Diskretisierung, d. h. die Dichte des Netzes, hat maßgeblichen Einfluss auf die Genauigkeit der Resultate der Näherungsrechnung. Da gleichzeitig der Rechenaufwand bei der Verwendung feinerer und dichterer Netze steigt, gilt es, möglichst intelligente Vernetzungslösungen zu entwickeln.

Element-Ansatz[Bearbeiten]

In jedem der Elemente wird für die gesuchte Funktion, bzw. allgemeiner für die das Problem beschreibenden Funktionen, ein problemgerechter Ansatz gewählt. Im Besonderen eignen sich dazu ganze rationale Funktionen in den unabhängigen Raumkoordinaten. Für eindimensionale Elemente (Stäbe, Balken) kommen Polynome ersten, zweiten, dritten und gelegentlich sogar höheren Grades in Frage. Bei zweidimensionalen Problemen finden lineare, quadratische oder höhergradige Polynome Verwendung. Die Art des Ansatzes hängt dabei einerseits von der Form des Elementes ab, und andererseits kann auch das zu behandelnde Problem den zu wählenden Ansatz beeinflussen. Denn die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Element ins benachbarte ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen erfüllen. Die Stetigkeitsanforderungen sind häufig aus physikalischen Gründen offensichtlich und aus mathematischen Gründen auch erforderlich. Zum Beispiel muss die Verschiebung eines zusammenhängenden Körpers in einer Richtung beim Übergang von einem Element zum anderen stetig sein, um die Kontinuität des Materials zu gewährleisten. Im Fall der Balken- oder Plattenbiegung sind die Stetigkeitsanforderungen höher, da dort aus analogen physikalischen Gründen sogar die Stetigkeit der ersten Ableitung bzw. der beiden ersten partiellen Ableitungen gefordert werden muss. Elemente mit Ansatzfunktionen, welche den Stetigkeitsbedingungen genügen, heißen konform.

Um nun die Stetigkeitsanforderungen tatsächlich zu erfüllen, muss der Funktionsverlauf im Element durch Funktionswerte und auch durch Werte von (partiellen) Ableitungen (den Knotenpunktverschiebungen) in bestimmten Punkten des Elementes, den Knotenpunkten, ausgedrückt werden. Die in den Knotenpunkten benutzten Funktionswerte und Werte von Ableitungen nennt man die Knotenvariablen des Elements. Mit Hilfe dieser Knotenvariablen stellt sich die Ansatzfunktion als Linearkombination von sogenannten Formfunktionen mit den Knotenvariablen als Koeffizienten dar.

Es ist zweckmäßig, für die Knotenpunktkoordinaten neben einem elementbezogenen lokalen ein globales Koordinatensystem zu verwenden. Beide werden durch Transformationsfunktionen miteinander verknüpft. Werden für diese Transformation dieselben Formfunktionen wie für den Verformungsansatz benutzt, so sind es isoparametrische Elemente, bei Funktionen niedrigeren bzw. höheren Grades sub- bzw. superparametrische Elemente.

Formale Definition des finiten Elementes (nach Ciarlet)[Bearbeiten]

Ein finites Element ist ein Tripel E = (T, \Pi, \Sigma), wobei:

  • T ist ein nichtleeres Gebiet (z. B. Dreiecke, Vierecke, Tetraeder, usw.)
  • \Pi ist ein endlichdimensionaler Raum von Ansatzfunktionen (lineare, quadratische oder kubische Formfunktionen, also Splines; Sinus, usw.) \rightarrow Formfunktionen
  • \Sigma ist eine Menge von linear unabhängigen Funktionalen auf \Pi \rightarrow Knotenvariablen

Es gelte für die Funktionale, dass sie zu Funktionen der Basis assoziiert seien:

\sigma_i \in \Sigma : \sigma_i(\pi_j)=\delta_{ij} \ \ j \in \{1, \ldots , \dim(\Pi)\}

So gilt für jede Funktion

v \in \Pi: v(x) = \sum_i \sigma_i(v)\pi_j.

Für Sinus als Basisfunktion im \mathbb(R)^1 ist dann

\operatorname{span}\, \left\{\sin(x), \sin(2x), \ldots , \sin(nx)\right\} = \Pi

und die Funktionale

\sigma_i(\psi):=(\sin(ix), \psi)_{L^2}.

Für Splines genügt dahingegen die Punktauswertung auf den festgelegten Punkten der Dreiecke: \sigma_p(\psi):=\psi(p).

Randbedingungen[Bearbeiten]

Problemstellung Dirichlet-Randbedingung/Funktionswert Neumann-Randbedingung
statisches Problem Auflagerbedingung/Verschiebung Kraft
Sickerströmung Standrohrspiegelhöhe Quelle oder Senke
Wärmeleitung Temperatur Wärmequelle
elektrischer Strom elektrische Spannung Stromstärke
Elektrostatik elektrische Spannung elektrische Ladung
Magnetostatik magnetisches Potenzial magnetischer Fluss

Nachdem ein gegebenes Problem diskretisiert ist und die Elementmatrizen aufgestellt sind, führt man vorgegebene Randbedingungen ein. Ein typisches FE-Problem kann zwei Arten von Randbedingungen haben: Dirichlet-Randbedingungen und Neumann-Randbedingungen. Sie gelten (wirken) immer an den Knotenpunkten.

Eine Dirichlet-Randbedingung gibt einen Funktionswert direkt vor und eine Neumann-Randbedingung gibt eine Ableitung eines Funktionswertes vor. Ist eine Dirichlet-Randbedingung vorgegeben, bedeutet dies, dass das Problem einen Freiheitsgrad weniger bekommt und die zugehörige Zeile und Spalte in der Gesamtmatrix gestrichen wird. Ist die Dirichlet-Randbedingung ungleich Null, so wird der Wert entsprechend seinem Vorfaktor der Linearform („rechten Seite“) hinzugefügt. Je nach Art des physikalischen Problems kann es sich um verschiedene physikalische Größen handeln wie in der Tabelle beispielhaft dargestellt. Die Neumann-Randbedingungen haben des Weiteren einen Anteil an der Linearform („rechte Seite“).

Eine weitere Variante sind periodische Randbedingungen, bei denen die Werte an einem Rand als Daten für einen anderen Rand genommen werden und so ein periodisch unendlich fortgesetztes Gebiet oder ein rotationssymmetrisches Problem simuliert wird.

Grundgleichungen der Verschiebungsmethode[Bearbeiten]

Die Verschiebungsmethode ist die Standardformulierung der Finite-Elemente-Methode bei der die Verschiebungen die primären Unbekannten sind, die die Translation, Rotation und Verformung eines Festkörpers beschreiben. Die Verschiebungsmethode ist in allen gängigen Finite-Elemente-Programmen verfügbar, mit denen Probleme der Festkörpermechanik berechnet werden können. Für die Lösung von Festkörper-Problemen liegen mehrere Grundgleichungen vor.

Prinzip von d'Alembert in der Lagrange'schen Fassung[Bearbeiten]

Eine der Verschiebungsmethode zugrunde liegende Gleichung, mit der allgemeine Probleme der Festkörpermechanik behandelt werden können, ist das Prinzip von d'Alembert wie es die Kontinuumsmechanik in der Lagrange'schen Beschreibung formuliert. Mit diesem Prinzip können sowohl lineare Probleme, wie die Frage nach Eigenschwingungen, als auch hoch nichtlineare Probleme, wie Crashtests, analysiert werden. Hier wird die Methode der gewichteten Residuen nach Galerkin, auch Galerkin-Methode oder Galerkin-Ansatz genannt, verwendet.

Prinzip vom Minimum der potenziellen Energie[Bearbeiten]

In konservativen Systemen können bei einem statischen Problem die Knotenpunktverschiebungen aus der Bedingung ermittelt werden, dass im gesuchten Gleichgewichtszustand die potenzielle Energie ein Minimum hat. Mit dem Prinzip vom Minimum der potenziellen Energie können die Steifigkeitsgleichungen finiter Elemente direkt bestimmt werden. Die potenzielle Energie einer Konstruktion ist die Summe aus der inneren Verzerrungsenergie (der elastischen Formänderungsenergie) und dem Potenzial der aufgebrachten Lasten (der von äußeren Kräften geleisteten Arbeit).

Anwendung[Bearbeiten]

Die erste Anwendung der FEM war die lineare Behandlung von Festkörpern und Strukturen in Form der Verschiebungsmethode und davon ausgehend hat die FEM ihre Anstöße erhalten. Die Bezeichnung „Finite Elemente“ wurde erst etwas später benutzt. Im weiteren Verlauf der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode immer weiter verallgemeinert und kann nunmehr in vielen physikalischen Problemstellungen, u. a. in verschiedenen gekoppelten Feldberechnungen, Wettervorhersagen oder bei technischen Fragestellungen in den Branchen Fahrzeugbau, Medizintechnik, Luft- und Raumfahrttechnik, Maschinenbau oder Konsumgüter in den Ingenieurwissenschaften verwendet werden. Ein Haupteinsatzgebiet der Methode ist die Produktentwicklung, wobei unter anderem mechanische Festigkeitsberechnungen einzelner Komponenten oder beispielsweise komplette Fahrwerks- und Karosseriestrukturen berechnet werden, um aufwändige Crashtests zu reduzieren.

Vorgehen einer linearen mechanischen Berechnung (exemplarisch)[Bearbeiten]

Programme, welche die Finite-Elemente-Methode verwenden, arbeiten nach dem EVA-Prinzip: Der Anwender erstellt in einem CAD-Programm eine (Bauteil-)Geometrie. Anschließend gibt er im sogenannten FE-Präprozessor weitere Eingaben vor. Ein FEM-Gleichungslöser führt die eigentliche Rechnung durch, und der Benutzer erhält die berechneten Ergebnisse, welche er dann im sogenannten FE-Postprozessor in Form grafischer Anzeigen betrachten kann. Oft sind Prä- und Postprozessor in einem Programm kombiniert oder sogar Bestandteil des CAD-Programms.

Prozesskette lineare Festigkeitsrechnung

Eingabe: Präprozessor[Bearbeiten]

Im CAD-Programm wird das Bauteil konstruiert und mittels einer Direktschnittstelle oder mit einem neutralen Austauschformat wie STEP in den FE-Präprozessor übertragen. Durch die Anwahl von Netzparametern wie Elementgröße und Elementart (z. B. Tetraeder, Hexaeder bei 3D) im Vernetzungsmodul werden mit Hilfe eines Vernetzungsalgorithmus die Finiten-Elemente erzeugt. Für die mechanische Festigkeitsanalyse ist das Materialverhalten einzugeben, das maßgeblich angibt, welche Reaktionen das Bauteil (z. B. Verformung) auf äußere Belastungen erfährt. Je nach Werkstoff ist der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung unter Verformung unterschiedlich. Wenn dieser Zusammenhang linear ist, werden für die FE-Berechnung lediglich der Elastizitätsmodul und die Poissonzahl benötigt, sonst sind weitere Werkstoffkennwerte und Eingaben im Präprozessor nötig. Weitere Randbedingungen sind zum Beispiel einwirkenden Belastungen auf das Bauteil (Kräfte, Druck, etc.). Um eine möglichst realitätsnahe Abbildung zu erhalten, werden schließlich die homogenen (Einspannungen) und die inhomogenen Randbedingungen (Verschiebungen) sowie alle zu berücksichtigenden Lasten auf das Modell angegeben.

Verarbeitung: Gleichungslöser[Bearbeiten]

Je nach Programm kommt nun ein expliziter (eigenständiges Programm) oder ein integrierter Gleichungslöser zum Einsatz.

Der Vorteil direkter Gleichungslöser nach dem Gauß-Verfahren liegt für die praktische Anwendung in der numerischen Stabilität und dem Erhalt eines exakten Ergebnisses. Nachteilig sind die schlechte Konditionierung der üblicherweise dünn besetzten Steifigkeitsmatrizen und der hohe Speicherbedarf, wie oben erwähnt. Iterative Gleichungslöser sind unempfindlicher bei schlechter Konditionierung und benötigen weniger Speicher, wenn die Nicht-Nullelemente-Speicherung verwendet wird. Allerdings verwenden iterative Solver ein Abbruchkriterium für die Berechnung der Ergebnisse, wenn dieses erreicht wird, bevor eine annähernd exakte Lösung gefunden wurde, kann das Ergebnis, beispielsweise ein Spannungsverlauf, leicht fehlinterpretiert werden.

Ausgabe: Postprozessor[Bearbeiten]

Im Falle der mechanischen Festigkeitsberechnung erhält der Benutzer als Ergebnis des FEM-Gleichungslösers insbesondere Spannungs-, Deformations- und Dehnungswerte. Diese kann der Postprozessor zum Beispiel in einem Falschfarbenbild darstellen.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Einsatz der FEM in der Praxis begann in den 1950er Jahren bei einer Strukturberechnung von Flugzeugflügeln in der Luft- und Raumfahrtindustrie (Turner, Clough 1956) und sehr bald auch im Fahrzeugbau. Die Methode basiert hier auf den Arbeiten bei der Daimler AG in Stuttgart, die das selbst entwickelte FEM-Programm ESEM (Elektrostatik-Element-Methode) einsetzte, lange bevor die computerunterstützte Konstruktion (CAD) Anfang der 1980er Jahre ihren Einzug hielt. Der Ausdruck Finite-Elemente-Methode wurde erstmals 1960 von R. W. Clough vorgeschlagen und wird seit den 1970er Jahren überall verwendet. Die gängigste deutschsprachige Bezeichnung für industrielle Anwender ist Berechnungsingenieur.

Die Geschichte der Finite-Elemente-Methode erschließt sich aus den Forschungen und Veröffentlichungen der folgenden Autoren (Auswahl):

  • Karl Heinrich Schellbach: Variationsrechnung[1]; Lösung eines Minimalflächenproblems (1851/52)
  • Ernst Gustav Kirsch: Die Fundamentalgleichungen der Theorie der Elastizität fester Körper, hergeleitet aus der Betrachtung eines Systems von Punkten, welche durch elastische Streben verbunden sind (1868)[2]
  • John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1842–1919): On the theory of resonance. 1870[3]
  • Walter Ritz (1878–1909): neue Methode zur Lösung von Variationsproblemen [4], Ritz’sches Verfahren (1908/09)
  • Boris G. Galerkin (1871–1945): Verfahren der gewichteten Residuen (1915)
  • Erich Trefftz (1926): lokal begrenzte Ansatzfunktionen; Gegenstück zum Ritz′schen Verfahren
  • Hans Ebner (1929): Schubblech als ebenes Element im Flugzeugbau
  • Alexander Hrennikoff (1896–1984): Stabmodelle, Ersetzen von Scheiben durch Fachwerke, Platten durch Trägerroste 1940/41
  • Richard Courant (1888–1972): Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration(s). 1943 (Ansatzfunktionen mit lokalem Träger, elementweise Ansätze für Schwingungsprobleme)
  • William Prager (1903–1980), John Lighton Synge (1897–1995): Approximation in Elasticity based on the concept of function space. 1947
  • John Argyris (1913–2004): Kraft- und Verschiebungsmethode für Stabtragwerke, Matrizenformulierung (1954/55)
  • M. J. Turner, Ray W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp: Stiffness and deflection analysis of complex structures. 1956 (erste Strukturberechnung von Flugzeugflügeln bei Boeing, erste Anwendung der FEM mit Computerprogramm, erste Anwendung von Flächenelementen)
  • Ray W. Clough (* 1920): The finite element method in plane stress analysis. 1960 (wahrscheinlich erste Verwendung des Begriffs Finite Elemente)
  • Spierig (1963): Entwicklung von Dreieckelementen, Übertragung auf Schalen
  • Olgierd Cecil Zienkiewicz (1921–2009), Pionier der FEM und erstes Standardwerk (Lehrbuch): The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics., 1967 (mit Y. K. Cheung)
  • Alfred Zimmer (* 1920) und Peter Groth (* 1938), Pioniere der FEM, erstes deutsches FEM-Lehrbuch: Elementmethode der Elastostatik., 1969 Oldenbourg Verlag München, Wien
  • Olga Alexandrowna Ladyschenskaja (1922–2004), Ivo Babuška (* 1926) und Franco Brezzi (* 1945) – Ladyschenskaja-Babuška-Brezzi-Bedingung für die Stabilität eines gemischten Finite-Elemente-Problems mit Sattelpunktstruktur
  • Ivo Babuška (* 1926) – adaptive Finite-Elemente-Algorithmen

Programme[Bearbeiten]

Finite-Elemente-Software und ihre Anwendung ist mittlerweile eine Industrie mit mehreren Milliarden US-Dollar Jahresumsatz[5].

  • In der Praxis sind viele verschiedene Standalone-Großprogramme mit ähnlichem Anwendungsspektrum im Einsatz; die Auswahl, welches Programm zum Einsatz kommt, ist nicht nur von der Verwendung, sondern auch von Faktoren wie Verfügbarkeit, Zertifizierungsstandard im Unternehmen oder Lizenzkosten abhängig.
  • Mit den in kommerziellen CAD-Systemen integrierten Finite-Elemente-Paketen können einfachere (i. d. R. lineare) Problemstellungen berechnet und mithilfe des CAD-Systems anschließend direkt ausgewertet werden. Die einzelnen Schritte, z. B. der Vernetzungs-Prozess (meshing) laufen automatisch im Hintergrund ab.
  • Es gibt Prä-/Postprozessoren mit graphischer Oberfläche und getrennten FE-Lösern.
  • Es gibt Programmframeworks ohne graphische Oberfläche, meist als Präprozessor mit integriertem Gleichungslöser, die per Programmiersprache bedient werden, um beispielsweise mit selbst angefertigten Zusatzroutinen den FE-Solver zu steuern .

Literatur[Bearbeiten]

  •  Martin Mayr/Ulrich Thalhofer: Numerische Lösungsverfahren in der Praxis: FEM-BEM-FDM. Hanser, 1993, ISBN 3-446-17061-8, S. 312.
  •  J.N. Reddy: Energy Principles And Variational Methods In Applied Mechanics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, 2002, ISBN 978-0-471-17985-6.
  •  D. Braess: Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 4. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-72449-0.
  •  Günter Müller (Hrsg.): FEM für Praktiker. 1: Grundlagen; 2: Strukturdynamik; 3: Temperaturfelder; 4: Elektrotechnik; 5: Nichtlinearitäten, Expert Verlag, 2007(Bd.1); 2009(Bd.4), ISBN 978-3-8169-2685-6 (Bd.1), ISBN 978-3-8169-2841-6 (Bd.)4.
  •  Klaus-Jürgen Bathe: Finite-Elemente-Methoden. 2. Auflage. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-66806-3.
  •  W.E. Gawehn: Finite Elemente Methode. BOD Book on Demand, 2009, ISBN 978-3-8370-2497-5 (FEM-Grundlagen zur Statik und Dynamik).
  •  Frank Rieg, Reinhard Hackenschmidt, Bettina Alber-Laukant: Finite Elemente Analyse für Ingenieure: Eine leicht verständliche Einführung. Hanser Fachbuchverlag, 2012, ISBN 978-3-446-42776-1 (Anwendung der FEM in den Ingenieurwissenschaften).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Karl Schellbach: Probleme der Variationsrechnung. In: Journal für die reine und Angewandte Mathematik. 41, Nr. 4, 1852, S. 293-363.
  2. Ernst Gustav Kirsch: Die Fundamentalgleichungen der Theorie der Elastizität fester Körper, hergeleitet aus der Betrachtung eines Systems von Punkten, welche durch elastische Streben verbunden sind. In: Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, Band 7 (1868), Heft 8.
  3.  John William Strutt: On the theory of resonance. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 161, 1871, S. 77–118.
  4.  Walter Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 135, 1909, S. 1-61.
  5. [1] David Roylance: Finite Element Analysis (pdf; 319 kB), abgerufen am 13. November 2011