Finsler-Mannigfaltigkeit

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In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung Riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition[Bearbeiten]

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion F:TM\rightarrow \mathbb R so dass für alle v,w\in T_xM, x\in M gilt:

  • F(v)\ge 0 mit Gleichheit nur für v=0
  • F(\lambda v)=\lambda F(v) für alle \lambda\ge 0
  • F(v+w)\le F(v)+F(w).

Hierbei bezeichnet T_xM den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit M im Punkt x \in M und TM das Tangentialbündel von M, also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls F(-v)=F(v) für alle v\in T_xM, x\in M gilt.

Beispiele[Bearbeiten]

Länge und Volumen[Bearbeiten]

Die Länge einer rektifizierbaren Kurve \gamma:\left[a,b\right]\rightarrow M ist definiert durch

L(\gamma)=\int_a^bF(\gamma^\prime(t))dt.

Die Volumenform einer n-dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei x\in M, e_1,\ldots,e_n eine Basis von T_xM, \eta_1,\ldots,\eta_n die duale Basis. Sei V(x) das euklidische Volumen von D(x)=\left\{y\in\mathbb R^n: F(\sum_{i=1}^ny_ie_i)\le 1\right\}. Die Volumenform ist dann gegeben durch

B_F(x)=\frac{C(n)}{V(x)}\eta_1\wedge\ldots\wedge\eta_n,

wobei C(n) das euklidische Volumen der Einheitskugel im \mathbb R^n bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge A\subset M ist definiert durch \operatorname{vol}(A)=\int_A B_F(x).

Literatur[Bearbeiten]

  • Bao, D.; Chern, S.-S.; Shen, Z.: An introduction to Riemann-Finsler geometry. Graduate Texts in Mathematics, 200. Springer-Verlag, New York, 2000. ISBN 0-387-98948-X
  • Shen, Zhongmin: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing Co., Singapore, 2001. ISBN 981-02-4531-9