Fixpunktsatz von Brouwer

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Der Fixpunktsatz von Brouwer ist eine Aussage aus der Mathematik. Er ist nach dem niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer benannt und besagt, dass die Einheitskugel D^n die Fixpunkteigenschaft hat. Mit Hilfe dieser Aussage kann man Existenzaussagen über Lösungen reeller, nichtlinearer Gleichungssysteme machen.

Aussage[Bearbeiten]

Mit D^n = \{x \in \R^n : \|x\| \leq 1 \} wird die n-dimensionale Einheitskugel bezeichnet. Dann besitzt jede stetige Selbstabbildung von D^n in sich selbst mindestens einen Fixpunkt.

In Quantorenschreibweise lässt sich die Aussage durch

 \forall f \in C(D^{n},D^{n}): \exists x \in D^n : f(x) = x

darstellen.

Beweisidee[Bearbeiten]

Mittels des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß kann man sich auf \mathcal C^1-Funktionen beschränken.

Nun nimmt man an, f habe keinen Fixpunkt. Dann ist F: D^n\to S^{n-1}, gegeben durch

F(x):=x + \left( \sqrt{1-|x|^2 + \left\langle x,\frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} \right\rangle^2 } - \left\langle x, \frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} \right\rangle \right) \frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} ,
Illustration von F in D2

eine wohldefinierte und glatte Abbildung, die jedem Punkt in der Vollkugel den Schnittpunkt der Halb-Geraden von f(x) durch x mit der Sphäre zuordnet. F ist insbesondere eine Retraktion, d.h., für alle x\in S^{n-1} gilt F(x)=x.

Dies führt man auf einen Widerspruch, indem man zunächst zeigt, dass für \omega^{n-1}:= F^1\, \mathrm dF^2\wedge\cdots\wedge \mathrm dF^n gilt: \mathrm d\omega^{n-1} = 0. Dies sieht man leicht ein, da die Determinante der Jacobi-Matrix von F nach dem Satz von der inversen Funktion 0 sein muss.

Also gilt:

 0 = \int_{D^n} \mathrm d\omega^{n-1} = \int_{S^{n-1}} \omega^{n-1}

nach dem Satz von Stokes. Auf der Sphäre ist F aber die Identität. Damit gilt also (wieder nach dem Satz von Stokes):

 =  \int_{S^{n-1}} x_1 \mathrm dx^2 \wedge \cdots \wedge \mathrm dx^n = {\rm vol}(D^n) \neq 0 .

Topologisch gleichwertige Formulierungen[Bearbeiten]

Die Aussage des Brouwerschen Fixpunktsatzes in ihrem topologischen Kerngehalt lässt sich also wie folgt zusammenfassen:[1]

  • Die (n-1)-dimensionale Sphäre S^{n-1} ist niemals ein Retrakt der n-dimensionalen Einheitskugel  D^n .

Oder anders gesagt:

  • Es gibt keine stetige Abbildung der n-dimensionalen Einheitskugel  D^n auf die n-dimensionale Sphäre S^{n-1} , welche die Punkte der S^{n-1} fix lässt.

Damit gleichwertig ist die folgende Darstellung[2]:

Oder anders gesagt:

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Mittels einer stetigen Transformation auf das Simplex, das homöomorph zur Einheitskugel ist, lässt sich die Aussage des Satzes auf beliebige kompakte, konvexe Mengen in einem endlichdimensionalen Banachraum übertragen:

Sei f eine stetige Abbildung von einer nichtleeren, kompakten, konvexen Teilmenge eines endlichdimensionalen Banachraumes in sich selbst. Dann hat f einen Fixpunkt.

Auch diese Aussage wird manchmal als Fixpunktsatz von Brouwer bezeichnet, siehe hierzu auch seine Verallgemeinerung zum Fixpunktsatz von Schauder.

Der Ausfüllungssatz[Bearbeiten]

Die soeben angegebene Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes kann ihrerseits als Folgerung aus dem folgenden Satz gezogen werden, welcher auch als Ausfüllungssatz bezeichnet wird:[3]

Ist \Omega  eine beschränkte offene Teilmenge des \R^n und f \colon \overline{\Omega} \rightarrow  \R^n eine stetige Abbildung und dabei
f(x) = x für alle x \in \partial{\Omega},
so gilt  f(\overline{\Omega})  \supset  \Omega .

Der Zusammenhang mit dem Ausfüllungssatz erhält man, wenn man einbezieht, dass jeder endlichdimensionale Banachraum einem  \R^n topologisch äquivalent ist und dass jede darin enthaltene kompakte, konvexe Teilmenge eine Menge von der Art der obigen  \overline{\Omega} darstellt.

Der Ausfüllungssatz selbst ergibt sich aus einer direkten Anwendung der Eigenschaften des Abbildungsgrades[4].

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Harzheim: S. 158.
  2.  Harzheim: S. 158.
  3.  Harzheim: S. 157 - 160.
  4.  Harzheim: S. 157.