Flächenmoment

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Flächenmomente sind Querschnittskennwerte. Sie beschreiben den Einfluss der Form der Querschnittsfläche von länglichen Bauteilen auf deren Eigenschaften.

Anwendung finden die Flächenmomente bis 2. Grades insbesondere im Rahmen der Festigkeitsberechnung von Bauteilen und Strukturen. Flächenmomente ab dem 1. Grad sind auf eine bestimmte Ausrichtung des Querschnittes bezogen, sie haben demnach in verschiedenen Richtungen verschiedene Werte.

Definition von Flächenmomenten n-ten Grades[Bearbeiten]

In den folgenden Kurzbeschreibungen liegt der Balken parallel zur x-Achse des Koordinatensystems und hat die Querschnittsfläche in der y-z-Ebene. Der Balken liegt symmetrisch im Koordinatensystem (genauer: Die Hauptträgheitsachsen liegen parallel zu y- und z-Achse).

Das Flächenmoment n-ten Grades hat die folgende allgemeine Form:[1]

A_{i,j} = \int_A y^i \; z^j \; \mathrm dA \;         mit        n=i+j

Flächenmoment 0. Grades[Bearbeiten]

Das Flächenmoment 0. Grades entspricht der Querschnittsfläche und hat die Einheit: [m2]

A = \int_A \mathrm dA \,

Flächenmoment 1. Grades[Bearbeiten]

Die Flächenmomente 1. Grades werden auch als statisches Moment bezeichnet und haben die Einheit: [m3]

Aus diesen beiden Momenten können (bei bekanntem Flächeninhalt A) die beiden Koordinaten des Schwerpunktes errechnet werden.

Flächenmoment 1. Grades bezogen auf die die y-Achse:

S_y = \int_A z \; \mathrm dA \;\; Daraus ergibt sich die Schwerpunktkoordinate  z_s = \frac {1}{A} \cdot S_y

Flächenmoment 1. Grades bezogen auf die die z-Achse

S_z = \int_A y \; \mathrm dA \;\; Daraus ergibt sich die Schwerpunktkoordinate  y_s = \frac {1}{A} \cdot S_z

Flächenmoment 2. Grades[Bearbeiten]

Hauptartikel: Flächenträgheitsmoment

Die Flächenmomente 2. Grades sind auch unter dem Begriff Flächenträgheitsmoment bekannt und haben die Einheit: [m4].

Sie geben den Einfluss der Form der Querschnittsfläche eines Balkens auf seine Steifheit an. Aus dem Flächenträgheitsmoment wird auch das Widerstandsmoment abgeleitet, welches den Einfluss der Form der Querschnittsfläche auf die Festigkeit beschreibt.

Flächenmoment 2. Grades bezogen auf die die y-Achse:

I_{y} = \int_{A} z^2 \; \mathrm dA

Flächenmoment 2. Grades bezogen auf die die z-Achse:

I_{z} = \int_{A} y^2 \; \mathrm dA

biaxiales Flächenträgheitsmoment:

I_{yz} = I_{zy} =  -\int_{A} yz\ \mathrm{d}A .

polares Flächenträgheitsmoment:

I_P = I_{y} + I_{z} = {\int_{A} r^2 \ \mathrm{d}A } ,

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Jens Göttsche, Maritta Petersen: Festigkeitslehre - klipp und klar. Hanser Verlag, 2006, ISBN 978-3446404151 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).