Flachheit (Algebra)

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Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs "freier Modul".

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Ein Modul M über einem Ring A heißt flach, wenn der Funktor

N\mapsto M\otimes_A N

exakt ist. (Siehe Tensorprodukt.)

Äquivalente Charakterisierungen sind:[1]

I\otimes_A M\to IM
injektiv.
  • Tor1(A/I, M) = 0 für alle Ideale I von A.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Moduleigenschaften kommutative Algebra.svg
0\to N'\to N\to N''\to 0
eine exakte Sequenz. Dann ist die Sequenz
0\to M\otimes N'\to M\otimes N\to M\otimes N''\to0
exakt, falls M oder N′′ flach ist.[5] Dies entspricht der Symmetrie des Funktors Tor.
  • Sind M, N flache R-Moduln, so auch  M\bigotimes\nolimits_RN .
  • Im Ring der dualen Zahlen ist flach äquivalent zu frei.
  • Sei  M=\bigoplus_{i\in I}M_i . Dann ist M genau dann flach, wenn  M_i für alle  i\in I flach ist.

Beispiele[Bearbeiten]

  •  \mathbb{Q} ist ein flacher, aber nicht projektiver  \mathbb{Z} -Modul.
  • Für jeden Ring R ist der R-Modul R flach.
  • Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement und  S\subseteq R eine multiplikativ abgeschlossene Menge, dann ist der R-Modul  S^{-1}R flach.
Damit ist insbesondere  k(t_1,\ldots,t_n) ein flacher  k[t_1,\ldots,t_n] -Modul
  •  R[X] ist eine flache R-Algebra.

Literatur[Bearbeiten]

  • David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94269-6.
  • Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6.
  • Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-920249-4.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Matsumura, a.a.O., Theorem 7.7 und Theorem 7.8, S. 51f.
  2. Eisenbud, a.a.O., Corollary 6.6, S. 166; Matsumura, a.a.O., Corollary 7.12, S. 53
  3. Eisenbud, a.a.O., Corollary 6.3, S. 164
  4. Liu, a.a.O., Corollary 1.2.14, S. 11
  5. Liu, a.a.O., Proposition 2.6, S. 9