Fleißiger Biber

Fleißige Biber (auch engl. Busy Beaver) sind Turingmaschinen, die möglichst viele Einsen auf das Band schreiben, ohne in eine Endlosschleife zu geraten (d. h. die nach einer endlichen Anzahl Rechenschritte halten). Die Radó-Funktion (auch Fleißiger-Biber-Funktion) gibt die maximale Anzahl der Einsen an, die ein fleißiger Biber mit einer gegebenen Anzahl von Zuständen schreiben kann. Beides wurde erstmals 1962 vom ungarischen Mathematiker Tibor Radó betrachtet.

Formelle Betrachtung

Definition

Ein Fleißiger Biber ist eine Turingmaschine mit dem zweielementigen Alphabet $\{0, 1\}$ und $n$ Zuständen, die hält und zuvor auf ein leeres (aus Nullen bestehendes) Band die maximale Anzahl $k_n$ von Einsen schreibt, verglichen mit allen anderen haltenden Turingmaschinen mit ebenfalls $n$ Zuständen. Nur Turingmaschinen, die nicht halten, können mehr Einsen schreiben.

Fleißiger-Biber-Funktion

Über die Anzahl $k_n$ von Einsen, die ein fleißiger Biber mit $n$ Zuständen schreibt, ist der Wert der Fleißiger-Biber-Funktion (auch Radó-Funktion) an der Stelle $n$ definiert: $\Sigma(n) = k_n$.

Nicht lösbares Problem

Die Bestimmung der fleißigen Biber ist ein Problem, das nicht allgemein algorithmisch lösbar ist. So ist nicht generell entscheidbar, ob eine gegebene Turingmaschine mit $n$ Zuständen tatsächlich eine Kette von Einsen maximaler Länge schreibt. Für einzelne Turingmaschinen geringer Komplexität ist das allerdings möglich. Also ist die Menge der Werte von $\Sigma(n)$ weder entscheidbar, noch rekursiv aufzählbar, obwohl $\Sigma(n)$ wohldefiniert ist. Da auch das Komplement dieser Menge nicht rekursiv aufzählbar ist, wird diese Menge gerne als Beispiel für eine Sprache gewählt, die nicht in der ersten Stufe der arithmetischen Hierarchie liegt.

Wegen dieser Eigenschaften der Wertemenge ist die Funktion $\Sigma$ nicht berechenbar. Man kann außerdem zeigen, dass ihr asymptotisches Wachstum stärker ist als das jeder berechenbaren Funktion.

Praktische Betrachtung

In der Praxis hat sich gezeigt, dass schon für $n > 5$ eine Erkenntnis über den Wert $\Sigma(n)$ realistisch gesehen nicht mehr möglich zu sein scheint. Dazu müsste man für jede einzelne Turingmaschine mit $n$ Zuständen jeweils herausfinden, nach wie vielen Schritten sie hält, oder anderenfalls beweisen, dass sie das nicht tut. Durch die Untersuchung bestimmter Eigenschaften konnte inzwischen zumindest bis auf 40 Maschinen, die kein reguläres Verhalten zeigen, eine Unterteilung in haltende Maschinen, die höchstens 4098 Einsen schreiben, und nicht haltende Maschinen unternommen werden.

Zustände $n$	Turingmaschinen	$\Sigma(n)$
1	64	1 (1962 Rado)
2	20736	4 (1962 Rado)
3	16777216	6 (1965 Lin, Rado)
4	25,6×109	13 (1972 Weimann, Casper, Fenzel)
5	≈ 63,4×1012	≥ 240 (1983 Jochen Ludewig) ≥ 501 (1983, Uwe Schult) ≥ 1915 (1984, George Uhing) ≥ 4098 (1989, Jürgen Buntrock und Heiner Marxen)
6	≈ 232×1015	> 3,514×1018267 (2010 Pavel Kropitz)
7	≈ 1,18×1021	Abschätzung unrealistisch

Die Anzahl der Turingmaschinen berechnet sich hier nach $(2*2*(n+1))^{2n}$.

Anmerkung zur Berechnung: Ein Fleißiger Biber macht nach dem Schreiben immer einen Schritt nach rechts oder links, bevor er den neuen Zustand einnimmt. Er hält also niemals auf demselben Feld inne, solange er nicht den Zustand „Halt“ eingenommen hat.

Die Funktion S

Radó definierte zusätzlich eine Funktion $S(n)$, deren Wert die maximale Anzahl an Schritten einer haltenden Turingmaschine mit zweielementigem Alphabet und $n$ Zuständen ist. Auch diese Funktion $S$ ist nicht berechenbar; wäre sie es, so wäre das Halteproblem mit leerem Eingabeband entscheidbar, denn eine Turingmaschine mit $n$ Zuständen, die mehr als $S(n)$ Schritte macht, hält nie.

Da in jedem Schritt maximal eine Eins geschrieben werden kann, gilt

$S(n) \ge \Sigma(n)$.

Zwischen den Funktionen $\Sigma$ und $S$ besteht weiterhin die folgende Beziehung.

$S(n) < \Sigma(3n+6)$.

Ebenfalls nicht berechenbare Funktion

Eine ebenfalls nicht berechenbare Funktion ergibt sich, wenn die zusätzliche Beschränkung eingeführt wird, dass alle Einsen eine zusammenhängende Kette bilden müssen.

Als Bezeichnung dafür hat sich $\sigma(n)$ eingebürgert.

1965 hat C. Dunham eine äußerst einfache Variante der Funktion des fleißigen Bibers angegeben. $D(n)$ ist definiert als die maximale Anzahl Einsen, die eine Turingmaschine mit zweielementigem Alphabet und $n$ Zuständen schreiben kann, wenn sie auf ein Band mit einem Block von $n$ Einsen angesetzt wird und dabei hält. Wäre diese Funktion berechenbar, so gäbe es auch eine Turingmaschine M mit zweielementigem Alphabet, die $n\mapsto D(n)+1$ berechnet. Diese Turingmaschine habe $m$ Zustände. Dann wäre $D(m)+1 = M(m) \le D(m)$, wobei das Gleichheitszeichen gerade die Definition von M ist, und das $\le$-Zeichen daher rührt, dass M ja eine Maschine mit $m$ Zuständen ist und angesetzt auf $m$ (d.h. auf einen Block aus $m$ Einsen) hält und daher nach Definition von D die Ungleichung $M(m)\le D(m)$ erfüllen muss. Dieser Widerspruch zeigt die Nicht-Berechenbarkeit von D.

Weblinks

• Weitere Informationen von Reinhard Völler an der Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg
• Seite von Heiner Marxen (englisch)
• Eine Einführung der Uni Stuttgart

Literatur

• A. K. Dewdney: The (new) Turing Omnibus. 66 Excursions in Computer Science. Computer Science Press, New York NY 1993, überarbeitet 1996, ISBN 0-7167-8271-5.
• Jochen Ludewig, Uwe Schult, Frank Wankmüller: Chasing the Busy Beaver. Notes and Observations on a competition to find the 5-state Busy Beaver. Universität Dortmund – Abt. Informatik, Dortmund 1983 (Abteilung Informatik, Universität Dortmund. Bericht 159).
• Heiner Marxen, Jürgen Buntrock: Attacking the Busy Beaver 5. In: Bulletin of the EATCS. 40, Februar 1990, ISSN 0252-9742, S. 247–251.