Fleißiger Biber

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Fleißige Biber (auch engl. Busy Beaver) sind Turingmaschinen, die möglichst viele Einsen auf das Band schreiben, ohne in eine Endlosschleife zu geraten (d. h. die nach einer endlichen Anzahl Rechenschritte halten). Die Radó-Funktion (auch Fleißiger-Biber-Funktion) gibt die maximale Anzahl der Einsen an, die ein fleißiger Biber mit einer gegebenen Anzahl von Zuständen schreiben kann. Beides wurde erstmals 1962[1] vom ungarischen Mathematiker Tibor Radó betrachtet.

Formelle Betrachtung[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Ein fleißiger Biber ist eine Turingmaschine mit dem zweielementigen Alphabet \{0, 1\} und n Zuständen, die hält und zuvor auf ein leeres (aus Nullen bestehendes) Band die maximale Anzahl k_n von Einsen schreibt, verglichen mit allen anderen haltenden Turingmaschinen mit ebenfalls n Zuständen. Nur Turingmaschinen, die nicht halten, können mehr Einsen schreiben.

Fleißiger-Biber-Funktion[Bearbeiten]

Über die Anzahl k_n von Einsen, die ein fleißiger Biber mit n Zuständen schreibt, ist der Wert der Fleißiger-Biber-Funktion (auch Radó-Funktion) an der Stelle n definiert: \Sigma(n) = k_n.

Nicht lösbares Problem[Bearbeiten]

Die Bestimmung der fleißigen Biber ist ein Problem, das nicht allgemein algorithmisch lösbar ist. So ist nicht generell entscheidbar, ob eine gegebene Turingmaschine mit n Zuständen tatsächlich eine Kette von Einsen maximaler Länge schreibt. Für einzelne Turingmaschinen geringer Komplexität ist das allerdings möglich. Also ist die Menge der Werte von \Sigma(n) weder entscheidbar, noch rekursiv aufzählbar, obwohl \Sigma(n) wohldefiniert ist. Da auch das Komplement dieser Menge nicht rekursiv aufzählbar ist, wird diese Menge gerne als Beispiel für eine Sprache gewählt, die nicht in der ersten Stufe der arithmetischen Hierarchie liegt.

Wegen dieser Eigenschaften der Wertemenge ist die Funktion \Sigma nicht berechenbar. Man kann außerdem zeigen, dass ihr asymptotisches Wachstum stärker ist als das jeder berechenbaren Funktion.

Praktische Betrachtung[Bearbeiten]

In der Praxis hat sich gezeigt, dass schon für n > 5 eine Erkenntnis über den Wert \Sigma(n) realistisch gesehen nicht mehr möglich zu sein scheint. Dazu müsste man für jede einzelne Turingmaschine mit n Zuständen jeweils herausfinden, nach wie vielen Schritten sie hält, oder anderenfalls beweisen, dass sie das nicht tut. Durch die Untersuchung bestimmter Eigenschaften konnte inzwischen zumindest bis auf 40 Maschinen, die kein reguläres Verhalten zeigen[2], eine Unterteilung in haltende Maschinen, die höchstens 4098 Einsen schreiben, und nicht haltende Maschinen unternommen werden.

Zustände n Turingmaschinen \Sigma(n)
1 64 1 (1962 Rado)
2 20736 4 (1962 Rado)
3 16777216 6 (1965 Lin, Rado)
4 25,6×109 13 (1972 Weimann, Casper, Fenzel)
5 ≈ 63,4×1012 ≥ 240 (1983 Jochen Ludewig)

≥ 501 (1983, Uwe Schult)
≥ 1915 (1984, George Uhing)
≥ 4098 (1989, Jürgen Buntrock und Heiner Marxen)

6 ≈ 232×1015 > 3,514×1018267 (2010 Pavel Kropitz)
7 ≈ 1,18×1021 Abschätzung unrealistisch

Die Anzahl der Turingmaschinen berechnet sich hier nach (2*2*(n+1))^{2n}.

Anmerkung zur Berechnung: Ein Fleißiger Biber macht nach dem Schreiben immer einen Schritt nach rechts oder links, bevor er den neuen Zustand einnimmt. Er hält also niemals auf demselben Feld inne, solange er nicht den Zustand „Halt“ eingenommen hat.

Die Funktion S[Bearbeiten]

Radó definierte zusätzlich eine Funktion S(n), deren Wert die maximale Anzahl an Schritten einer haltenden Turingmaschine mit zweielementigem Alphabet und n Zuständen ist. Auch diese Funktion S ist nicht berechenbar; wäre sie es, so wäre das Halteproblem mit leerem Eingabeband entscheidbar, denn eine Turingmaschine mit n Zuständen, die mehr als S(n) Schritte macht, hält nie.

Da in jedem Schritt maximal eine Eins geschrieben werden kann, gilt

S(n) \ge \Sigma(n).

Zwischen den Funktionen \Sigma und S besteht weiterhin die folgende Beziehung.

S(n) < \Sigma(3n+6).[3]

Ebenfalls nicht berechenbare Funktion[Bearbeiten]

Eine ebenfalls nicht berechenbare Funktion ergibt sich, wenn die zusätzliche Beschränkung eingeführt wird, dass alle Einsen eine zusammenhängende Kette bilden müssen.

Bildliche Beschreibung eines fleißigen Kleinbibers

Als Bezeichnung dafür hat sich \sigma(n) eingebürgert.

1965 hat C. Dunham eine weitere Variante der Funktion des fleißigen Bibers angegeben.[4] D(n) ist definiert als die maximale Anzahl Einsen, die eine Turingmaschine mit zweielementigem Alphabet und n Zuständen schreiben kann, wenn sie auf ein Band mit einem Block von n Einsen angesetzt wird und dabei hält. Wäre diese Funktion berechenbar, so gäbe es auch eine Turingmaschine M mit zweielementigem Alphabet, die n\mapsto D(n)+1 berechnet. Diese Turingmaschine habe m Zustände. Dann wäre D(m)+1 = M(m) \le D(m), wobei das Gleichheitszeichen gerade die Definition von M ist, und das \le-Zeichen daher rührt, dass M ja eine Maschine mit m Zuständen ist und angesetzt auf m (d.h. auf einen Block aus m Einsen) hält und daher nach Definition von D die Ungleichung M(m)\le D(m) erfüllen muss. Dieser Widerspruch zeigt die Nicht-Berechenbarkeit von D.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • A. K. Dewdney: The (new) Turing Omnibus. 66 Excursions in Computer Science. Computer Science Press, New York NY 1993, überarbeitet 1996, ISBN 0-7167-8271-5.
  • Jochen Ludewig, Uwe Schult, Frank Wankmüller: Chasing the Busy Beaver. Notes and Observations on a competition to find the 5-state Busy Beaver. Universität Dortmund – Abt. Informatik, Dortmund 1983 (Abteilung Informatik, Universität Dortmund. Bericht 159).
  • Heiner Marxen, Jürgen Buntrock: Attacking the Busy Beaver 5. In: Bulletin of the EATCS. 40, Februar 1990, ISSN 0252-9742, S. 247–251.

Quellen[Bearbeiten]

  1. T. Radó: On non-computable functions (PDF; 3,6 MB), In The Bell System Technical Journal, Band 41, Nr. 3, S. 877–884, Mai 1962
  2. Busy Beaver nonregular machines for class TM(5)
  3. A. M. Ben-Amram, B. A. Julstrom, U. Zwick: A Note on Busy Beavers and Other Creatures, In Mathematical Systems Theory, 29(4), S. 375–386, Juli / August 1996, doi:10.1007/BF01192693
  4. C. Dunham: A Candidate for the simplest uncomputable function In: Communications of the Association for Computing Machinery (Letter to the Editor) 8, 4, 1965, ISSN 0001-0782, S. 201