Fließformel

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Fließformeln dienen zur überschlägigen Berechnung der mittleren Geschwindigkeit einer Strömung. Dabei wird zwischen offenen Gerinnen und Rohren mit Freispiegelabfluss oder Druckabfluss unterschieden. Die Formeln sind vom hydraulischen Radius und dem Fließgefälle des Wasserspiegels abhängig und berücksichtigen sämtliche Fließwiderstände in Form eines empirischen Beiwerts. Dieser ist für jede Fließformel unterschiedlich.

Der meist zu berechnende Abfluss Q ergibt sich durch Multiplikation der mittleren Fließgeschwindigkeit vm mit der Querschnittsfläche A:

Q = v_m \cdot A

Offene Gerinne[Bearbeiten]

Fließformel nach Gauckler-Manning-Strickler[Bearbeiten]

Die Fließformel nach Gauckler-Manning-Strickler (GMS-Formel, nach Philippe Gauckler, Robert Manning und Albert Strickler) ist stark empirisch geprägt und gilt für die üblichen Verhältnisse in offenen Fließgewässern mit guter Genauigkeit. Sie lautet in der üblichen Form

v_m = k_{st} \cdot R ^\frac{2}{3} \cdot I^\frac{1}{2}

oder im angelsächsischen Raum

v_m = \frac{1}{n} \cdot R ^\frac{2}{3} \cdot I^\frac{1}{2}

wobei

vm mittlere Fließgeschwindigkeit [m/s],
kst Rauheitsbeiwert nach Strickler für die Gerinnerauheit [m1/3/s],
n Rauheitsbeiwert nach Manning; n = 1/kst
Amerikanische Literatur und Berechnungen basieren ggf. nicht auf SI-Einheiten [m] sondern auf der Einheit Fuß [ft] (engl. foot).
R hydraulischer Radius [m] (R = A/U mit A = durchflossener Querschnitt [m²], U = benetzter Umfang [m]. R ist bei sehr breiten, flachen Fließquerschnitten ungefähr gleich der Wassertiefe),
I Fließgefälle (Höhe pro Länge) [m/m]

Der Strickler-Beiwert kst ist in Abhängigkeit von der Oberflächenbeschaffenheit, Bewuchs und Querschnittsform zu wählen und ändert sich grundsätzlich mit der Abflusstiefe, da der Einfluss der Böschungsrauheit mit zunehmender Fließtiefe abnimmt. Der Strickler-Beiwert wurde von Strickler sowohl im Labor als auch in der Natur experimentell bestimmt. Seine merkwürdige Einheit hat keine physikalische Bedeutung und wurde so festgelegt, dass die Gleichung dimensionsecht ist. [1]. Typische Flussbett-Werte für kst:

Oberfläche kst in m1/3/s
Glatter Beton 100
Gerades Fließgewässer 30-40
Mäandrierendes Flussbett mit Bodenbewuchs 20-30
Wildbach mit Geröll 10-20
Wildbach mit Unterholz <10

Beispiel: Der Rhein fließt von Köln, Höhe ca. 50 m NHN, ca. 300 km bis zur Mündung. Er ist ca. 8 m tief und besitzt ein ausgewaschenes Flussbett mit kst ~ 30 m1/3/s. Dann beträgt die Fließgeschwindigkeit nach Gauckler-Manning-Strickler:

v = 1,5 m/s = 5,4 km/h, in guter Übereinstimmung mit der gemessenen mittleren Geschwindigkeit von 4 km/h.

Fließformel nach Brahms und de Chézy (älteste Formel)[Bearbeiten]

v=C\sqrt{R\,I},\,

wobei

v mittlere Fließgeschwindigkeit [m/s],
C Chézy-Koeffizient [m½/s],
R hydraulischer Radius [m],
I Fließgefälle (I=h_f/L) [m/m].

Für den Koeffizienten C gibt es mehrere Varianten:

  1. C nach Kutter oder
  2. C nach Bazin

Rohrströmungen[Bearbeiten]

Fließformel nach Darcy-Weisbach[Bearbeiten]

Durch Umformung der Darcy-Weisbach-Gleichung ergibt sich:

v_m = \sqrt{\frac{8 \cdot g \cdot R \cdot I}{\lambda}}

wobei

Mit einem Parameter C = \sqrt \frac{8 g}{\lambda} entspricht diese Formel der Chézy-Formel.

Fließformel von Prandtl-Colebrook[Bearbeiten]

Diese Formel gilt für Druckabfluss in glatten oder rauen Kreis- oder Nicht-Kreis-Profilen mit Voll- oder Teilfüllung. Sie geht von der Chézy-Formel aus und hat zusätzliche Parameter für die Rauheit des Rohres und die Viskosität von Wasser.

Weitere Fließgesetze[Bearbeiten]

Neben diesen eigentlichen Fließformeln gibt es noch weitere Fließgesetze für andere Fälle.

Die Ausflussformel nach dem Gesetz von Torricelli ist eine Formel für den Ausfluss aus einem Behälter oder bei einem Wehr unter dem Schütz hindurch:

v=\alpha\, \sqrt{2g\,h},\,

wobei

\alpha\,=Ausfluss- oder Verlustbeiwert

Für Überfälle gibt es die Poleni-Formel zur Berechnung des Abflusses bei vollkommenem Überfall von Wehren. Sie wird als Überfall-Formel bezeichnet und nicht als Fließformel.

Ein Fließgesetz für Sickerströmungen ist das Darcy-Gesetz.

Autoren der Fließformeln[Bearbeiten]

Die Formeln sind benannt nach den Ingenieuren und Wissenschaftlern, die daran mitgewirkt haben:

  • Gaspar-Philibert Gauckler[2] (oder, nach anderen Quellen: Philipe Gaspard Gauckler) (1826–1905)
(bemerkenswert - und irritierend - ist dabei, dass „Philibert Gaspard“ auch die weiteren Vornamen von Henry Darcy sind.)

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Open-channel hydraulics / Ven Te Chow. - New York [u. a.] : McGraw-Hill, 1959
  2. Einführung in die Hydromechanik von Gerhard H. Jirka, S. 212

Literatur[Bearbeiten]

  •  Albert Strickler: Beiträge zur Frage der Geschwindigkeitsformel und der Rauhigkeitszahlen für Ströme, Kanäle und geschlossene Leitungen. In: Eidg. Amt für Wasserwirtschaft (Hrsg.): Mitteilungen des Amtes für Wasserwirtschaft. Nr. 16, Bern 1923, S. 357 (In der ETH Bibliothek).
  •  Albert Strickler: Theorie des Wasserstosses. In: Schweizerische Bauzeitung. Nr. 63, 1914, S. 25.
  •  Albert Strickler: Versuche über Druckschwankungen in eisernen Rohrleitungen. In: Schweizerische Bauzeitung. Nr. 64, 1914, S. 85-87,123.
  •  Helmut Martin, Reinhard Pohl: Technische Hydromechanik. In: Hydraulische und numerische Modelle. 4, Berlin 2009, ISBN 3-345-00924-2, S. 85-87,123.
  •  Willi H. Hager: Swiss contribution to water hammer theory. In: Jornal of hydraulic research. 1. Auflage. 4, Nr. 39, 2001 (Online).

Weblinks[Bearbeiten]