Fluiddynamische Grenzschicht

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Die fluiddynamische Grenzschicht, oft auch einfach als „Grenzschicht“ bezeichnet, ist der Bereich eines strömenden Fluids an einer Wand, in der die Reibung einen Einfluss auf das Geschwindigkeitsprofil senkrecht zur Wand ausübt.

Die Grenzschichttheorie führt zu wesentlich vereinfachten Navier-Stokes-Gleichungen, die auch als Grenzschichtgleichungen bezeichnet werden. Durch die Vereinfachungen wird der Berechnungsaufwand für umströmte Körper (z. B. Flugzeuge, Autos oder Schiffe) erheblich reduziert und lässt sich analytisch lösen. Die Kenntnis des Verhaltens der fluiddynamischen Grenzschichten ist daher wichtig für die Konstruktion im Flugzeugbau (Tragflügel), Windkraftanlagenbau, Turbinenbau (Turbinenschaufeln) sowie im Schiffbau (Umströmung des Schiffrumpfes, des Ruders und der Propellerflügel).

Grenzschichttheorie[Bearbeiten]

Ausbildung einer laminaren Grenzschicht an einer flachen Oberfläche (untere Linie).
Rex ist hier bei jedem x kleiner als Rekrit ~ 105.

Die Grenzschichttheorie ist ein Gebiet der Strömungsmechanik, das sich mit Fluidbewegung bei sehr kleiner Reibung beschäftigt.

Die Grenzschichttheorie wurde von Ludwig Prandtl im Jahr 1904 bei einem Vortrag auf dem Heidelberger Mathematiker-Kongress eingeführt.[1] Er teilte die Strömung in der Umgebung eines Körpers in zwei Gebiete auf:

  1. eine Außenströmung, in der die Reibung vernachlässigt werden kann, und
  2. eine dünne Schicht („Grenzschicht“) in der Nähe des Körpers, in der die Reibung eine wesentliche Rolle spielt.

für kleine Reynoldszahlen[Bearbeiten]

Für hinreichend kleine Reynolds-Zahlen Re ist die fluiddynamische Grenzschicht laminar, d. h. alle Teile der Grenzschicht einer parallelen Strömung sind der Hauptströmung gleichgerichtet. An der Wand wird das Fluid durch Reibung zum Stillstand gebracht (Haftbedingung: v_x(y = 0) = 0). Je weiter ein Fluidteilchen von der Wand entfernt ist, desto höher ist seine Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit theoretisch nie die Umgebungsgeschwindigkeit v_0 der Strömung erreichen kann, wird die Dicke \delta der Grenzschicht meist mit dem Erreichen von 99 % der Umgebungsgeschwindigkeit definiert:

v_x(y = \delta) = 0.99 \cdot v_0

mit

  • x: Koordinate in Strömungsrichtung
  • y: Koordinate senkrecht zur Strömungsrichtung (Wandabstand)
  • \delta: Dicke der Grenzschicht
  • v_x: Geschwindigkeitskomponente in Strömungsrichtung
  • v_0: Umgebungsgeschwindigkeit.

Von der Wand bis zum Ende der Grenzschicht (0 \leq y \leq \delta) kann das Geschwindigkeitsprofil als quadratische Funktion angenähert werden:

v_x(y) \approx v_0 \cdot \left[ 1 - \left( 1 - \frac{y}{\delta} \right) ^2 \right]

In Strömungsrichtung nimmt die Dicke der fluiddynamischen Grenzschicht zu (blaue Kurve in der Abbildung):

\delta = f(x)

In Rohren oder Kanälen können die Grenzschichten von beiden Seiten her zusammenwachsen, womit die laminare Strömung voll ausgebildet und die Geschwindigkeit eine parabolische Funktion des Abstandes von der Wand ist.

für große Reynoldszahlen[Bearbeiten]

Bei hohen Reynoldszahlen ist die Strömung turbulent, d. h. innerhalb der Grenzschicht können die Teile der Strömung bis hinab in den molekularen Bereich jede Richtung annehmen, ihre Dicke bleibt jedoch eng begrenzt. In der Hauptströmung bleibt die Geschwindigkeit konstant verteilt (Kolbenströmung). Der Wert der Reynoldszahl für den Übergang zur Turbulenz hängt von der betrachteten Geometrie und anderen Faktoren ab. Bei der Strömung durch ein Rohr, technisch übliche Wandrauigkeiten vorausgesetzt, liegt der Wert ungefähr bei 2300.

Literatur[Bearbeiten]

  •  H. Schlichting, K. Gersten: Grenzschicht-Theorie. 9 Auflage. Springer Verlag, Berlin 1997, ISBN 354055744X.
  • Götsch, Ernst - Luftfahrzeugtechnik, Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8
  • O. A. Olejnik, V. N. Samokhin: Mathematical models in boundary layer theory. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 1999, ISBN 1-58488-015-5
  • Joseph A. Schetz: Boundary layer analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1993, ISBN 0-13-086885-X

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Fluiddynamische Grenzschicht – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. books.google.de. Abgerufen am 7. Mai 2011.