Formelsammlung Geometrie

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Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

[Bearbeiten] Geometrie in der Ebene

[Bearbeiten] Winkel

Nebenwinkel Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°.
Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Außenwinkel Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180° Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer $(n-2)\cdot 180^\circ$ Die Summe der Außenwinkel beträgt in einem n-Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl $n$ )

[Bearbeiten] Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung

Um eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis (in $n$ gleiche Teile) zu teilen, zeichne man zunächst einen beliebigen Strahl von A aus, der nicht parallel zu AB ist. Auf diesem trage man n mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt C verbinde man mit B und zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in $n$ gleiche Teile.

[Bearbeiten] Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

Alle Seiten sind gleich lang
Alle Winkel sind gleich groß (60°)
Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale

Gleichschenkliges Dreieck

Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel a und b); die dritte Seite heißt Basis c
Die beiden Basiswinkel ( $α$ und $β$ ) sind gleich groß
Die Höhenlinie durch C halbiert den Winkel $γ$
Die Höhenlinie durch C halbiert die Basis c

Rechtwinkliges Dreieck

$α$ + $β$ = 90°
Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel
Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden
Satz des Pythagoras: (1. Kathete)² + (2. Kathete)² = (Hypotenuse)²

bzw. a² + b² = c²

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) teilen einander im Verhältnis 2:1.
Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) schneiden einander in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
Die Seitenhalbierende (Schwerlinie) teilt die Dreiecksfläche in zwei gleich große Teilflächen.

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Mittennormalen)

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises.

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt des Inkreises.
w_$α$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $α$ .

Schnittpunkt der Höhenlinien

Die Höhenlinien schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
Die Höhe h_c ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite c (rechter Winkel bei D).
D ist der Höhenfußpunkt von h_c.

Flächenberechnung mit Grundseite und zugehöriger Höhe

$A=\frac{g \cdot h}{2}$

Flächenberechnung im rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Katheten

$A=\frac{a \cdot b}{2}$

Flächenberechnung mit zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel

$A=\frac{b\cdot c\cdot \sin(\alpha)}{2}$

(b und c sind die den Winkel $α$ einschließenden Seiten)

Heronsche Formel (Flächenberechnung aus den drei Seitenlängen)

$A ={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

[Bearbeiten] Satzgruppe des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse:

$a^2 = p \cdot c, \ b^2 = q \cdot c$

Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.

$h^2 = q \cdot p$

[Bearbeiten] Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

drei Seiten z. B. a, b, c = n (sss)
zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

[Bearbeiten] Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
zwei Winkel übereinstimmen

[Bearbeiten] Strahlensätze

Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte.

[Bearbeiten] Vierecke

Im folgenden bezeichne $U$ den Umfang und $A$ die Fläche des Vierecks.

[Bearbeiten] Quadrat

$U = 4\cdot a$

$A = a\cdot a$

Diagonalenlänge:

$d = a\cdot \sqrt{2}$

[Bearbeiten] Rechteck

$U = 2\cdot (a + b)$

$A = a\cdot b$

[Bearbeiten] Raute (Rhombus)

$U = 4\cdot a$

$A = \frac {1} {2} \cdot e \cdot f$

$A = a^2 \cdot \sin \beta$

[Bearbeiten] Parallelogramm (Rhomboid)

$U = 2\cdot (a + b)$

$A = a\cdot h_a \,$

[Bearbeiten] Trapez

$U = a + b + c + d \,$

$A = \tfrac12(a+c) \cdot h$

( $h$ bezeichne die Höhe)

[Bearbeiten] Regelmäßige Vielecke (n-Ecke)

$n$ = Anzahl der Ecken
$r u$ = Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke
$r i$ = Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
$l k$ = Kantenlänge einer Seite des Vielecks
$U$ = Umfang des n-Ecks
$A$ = Fläche des n-Ecks

In Bezug auf $r u$ :

$U = 2 \cdot n \cdot r_\mathrm{u} \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}$

$A = \frac{n \cdot r_\mathrm{u}^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}}{2}$

In Bezug auf $r i$ :

$U = 2 \cdot n \cdot r_\mathrm{i} \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}$

$A = n \cdot r_\mathrm{i}^2 \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}$

In Bezug auf $l k$ :

$U = n \cdot l_\mathrm{k}$

$A = \frac{n \cdot l_\mathrm{k}^2 \cdot \cot \frac{180^\circ}{n}}{4}$

[Bearbeiten] Kreis, Kreisteile

Umfang U, Radius r, Durchmesser d und Flächeninhalt A eiens Kreises

Es bezeichnet $\pi=3{,}14159\ldots$ die Kreiszahl.

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

$A = \pi \cdot r^2 = {1\over4} \cdot \pi \cdot d^2$

Fläche eines Kreisringes mit Außenradius $R$ und Innenradius $r$

$A=\pi\cdot(R^2-r^2)$

Kreisbogen b und Kreisauschnitt (Sektor) mit der Fläche A, dem Radius r und dem Winkel α

Länge eines Kreisbogens

$b = \pi \cdot r \cdot { \alpha \over 180^\circ}$

Fläche eines Kreisausschnittes (Sektor)

$A = \pi \cdot r^2 \cdot { \alpha \over 360^\circ}$

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

Radius

$r = \sqrt {{A \cdot 360^\circ}\over {\pi \cdot \alpha}}$

$r = {{2A}\over {b}}$

$r = {{b \cdot 180^\circ} \over {\alpha \cdot \pi}}$

Darstellung eines Kreisabschnittes (Segment) mit der Fläche A und dem Winkel α

Fläche eines Kreisabschnittes (Segment)

$A = \frac{r^2}{2} \cdot \left( \frac{\pi \cdot \alpha}{\displaystyle 180^\circ} - \sin \alpha \right)$

Oder im Bogenmaß: $A = \frac{r^2}{2} \cdot (\alpha - \sin \alpha)$

[Bearbeiten] Ellipse

In kartesischen Koordinaten (x, y) hat eine Ellipse mit den Halbachsen a und b die Form

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Flächeninhalt (Inneres der Ellipse)

$A = 2\cdot \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^2 b^2 - b^2 x^2}{a^2}}\ \mathrm dx = \pi a b$

D = großer Durchmesser, d = kleiner Durchmesser

$A = \frac{\pi}{4} D\cdot d$

[Bearbeiten] Geometrie der Körper

$V$ = Volumen $M$ = Mantelfläche $O$ = Oberfläche $r$ = Radius $s$ = Seite

[Bearbeiten] Kegel

Für alle Kegel:

$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe

$s^2 = r^2 + h^2 \,$

Für senkrechte Kegel:

$M = \pi \cdot r \cdot s$

$O = r^2 \cdot \pi + \pi \cdot r \cdot s = r \cdot \pi \cdot (r + s)$

[Bearbeiten] Kugel und Kugelteile

Für die Kugel gilt ( $U$ = Umfang)

$V = {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3 = {1 \over 6}\cdot \pi \cdot d^3$

$O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot d^2$

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

Kugelteile:

Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)

h läuft entlang dem Durchmesser.

$A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

Kugelsegment (Kugelabschnitt)

$O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + \rho^2 \pi$ mit : $\rho^2 = h \cdot (2r -h)$

$V = {h^2 \cdot \pi \over 3} \cdot (3r - h)$

Kugelzone

$A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

Kugelschicht

$O = \pi \cdot (2\cdot r \cdot h + a^2 + b^2)$

mit $2 \cdot a$ = Durchmesser des unteren Schnittkreises und $2 \cdot b$ = Durchmesser des oberen Schnittkreises

$V = \pi \cdot h (3 \cdot a^2 + 3 \cdot b^2 + h^2)/6$

Distanz der Punkte $P 1 = (r,σ 1,θ 1)$ und $P 2 = (r,σ 2,θ 2)$ in Kugelkoordinaten

$d = r \cdot \arccos\left(\sin(\sigma_1) \cdot \sin(\sigma_2) + \cos(\sigma_1) \cdot \cos( \sigma_2 ) \cdot \cos(\theta_2 - \theta_1)\right)$

[Bearbeiten] Ellipsoid und Drehkörper

[Bearbeiten] Ellipsoid

Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a,b,c:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b\cdot c\,$

Volumen eines Rotationsellipsoids mit den Halbachsen a,b; Rotationsachse a:

$V = \frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b^2\,$

[Bearbeiten] Pyramide

Pyramide mit der Grundrisslänge $a$ und der Höhe $h$

Oberfläche: Die Oberfläche $O$ setzt sich zusammen aus dem Quadrat als Grundfläche und den vier Seitenflächen:

$O = a^2 + 2 \cdot a \cdot h_s$

Volumen: Legt man um die Pyramide ein quadratischer Quader mit der Grundrisslänge $a$ und der Höhe $h$ und verschiebt die Spitze der Pyramide in eine Quaderecke, so entsteht eine schiefe Pyramide mit gleichem Volumen. Dann gibt es noch zwei weitere Pyramiden gleichen Volumens. Die drei Pyramiden füllen den Quader aus. Das Volumen einer Pyramide ist gleich:

$V = \frac{{a^2 \cdot h}}{3}$

[Bearbeiten] Säulen

[Bearbeiten] Rundsäule (Zylinder)

Das Volumen einer Rundsäule ist das Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche G und der Höhe der Säule h:

$\begin{align} V_\mathrm{Runds\ddot aule} & = \ \ G&\cdot h_\mathrm{S\ddot aule}\\ & = \overbrace{\pi \cdot r^2}&\cdot h_\mathrm{S\ddot aule}\\ \end{align}$

(Flächeninhalt eines Kreises ist π · r² )

[Bearbeiten] Dreiecksäule (Prisma)

Das Volumen einer Dreiecksäule ist das Produkt aus der dreieckigen Grundfläche G und der Höhe der Säule h:

$\begin{align} V_\mathrm{Dreiecks\ddot aule} & = \ \ \ G&\cdot h_\mathrm{S\ddot aule}\\ & = \overbrace{\frac{g \cdot h_\triangle}{2}}&\cdot h_\mathrm{S\ddot aule}\\ \end{align}$

(Flächeninhalt eines Dreiecks (g·h)/2 mit der Dreieckshöhe h und der Grundseite g)

[Bearbeiten] Vierecksäule (Quader / Würfel)

Das Volumen V einer Vierecksäule ist das Produkt aus der Grundfläche G und der Höhe der Säule h:

$\begin{align} V_\mathrm{Vierecks\ddot aule} & = \ \ G&\cdot h_\mathrm{S\ddot aule}\\ & = \overbrace{a \cdot b}&\cdot h_\mathrm{S\ddot aule}\\ \end{align}$

[Bearbeiten] Ebene Trigonometrie

Hauptartikel: Trigonometrie, Formelsammlung Trigonometrie

[Bearbeiten] Trigonometrische Funktionen

[Bearbeiten] Definitionen

Sinus

$\sin \alpha = \frac{\rm Gegenkathete}{\rm Hypotenuse} = \frac{a}{c}$

Kosinus

$\cos \alpha = \frac{\rm Ankathete}{\rm Hypotenuse} = \frac{b}{c}$

Tangens

$\tan \alpha = \frac{\rm Gegenkathete}{\rm Ankathete} = \frac{a}{b}$

[Bearbeiten] Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \,$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha} {\cos\alpha}$

$\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$

[Bearbeiten] Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

[Bearbeiten] Vorzeichen der Funktionen für Winkel zwischen 0° und 360°

$\sin x > 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 0^{\circ },180^\circ\right[$

$\sin x < 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 180^{\circ },360^\circ\right[$

$\cos x > 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 0^\circ,90^\circ\right[ \cup \left] 270^\circ,360^\circ\right[$

$\cos x < 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 90^{\circ },270^\circ\right[$

$\tan x > 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 0^{\circ },90^\circ\right[ \cup \left] 180^\circ,270^\circ\right[$

$\tan x < 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 90^{\circ },180^\circ\right[ \cup \left] 270^\circ,360^\circ\right[$

Die Vorzeichen von $cot$ , $sec$ und $csc$ stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen $tan$ , $cos$ bzw. $sin$ .

[Bearbeiten] Sinussatz

${{\sin \alpha} \over a} = {{\sin \beta} \over b} = {{\sin \gamma} \over c} = {1 \over {2r}}$

[Bearbeiten] Kosinussatz

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma$

[Bearbeiten] Grad und Radiant

Gradmaß/Grad: 360° entsprechen einem Vollwinkel
Neugrad: 400^g (gon) entsprechen einem Vollwinkel
Bogenmaß/Radiant: 2 $π$ entsprechen einem Vollwinkel

Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß

$b = {{2 \cdot \pi \cdot \alpha} \over 360^\circ } = {{\pi \cdot \alpha} \over 180^\circ }\,$

[Bearbeiten] Näherungen

Für kleine Winkel x gilt (Kleinwinkelnäherung):

$\sin (x) \approx x{}\,$ .

(der Näherungwert ist im Bogenmaß) denn für die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 gilt:

$\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!}{}\,$

analog gilt

$\cos (x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\,$

$\tan (x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{2n}(2^{2n}-1)\left|B_{n}\right| \frac{x^{2n - 1}}{(2n)!}\,$

mit Wertebereich $\left|x\right|<\frac{\pi}{2}$ . $B n$ sind die Bernoulli-Zahlen:

$B_{1}=\tfrac{1}{6}, B_{2}=\tfrac{1}{30}, B_{3}=\tfrac{1}{42}, B_{4}=\tfrac{1}{30}, B_{5}=\tfrac{5}{66},\dots$

[Bearbeiten] Arcusfunktionen

Arcusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen (sin, cos, tan, …). Die Funktionswerte der Arcusfunktionen sind die zugrundeliegenden Winkel der Winkelfunktionen.