Formelsammlung Trigonometrie

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\sqrt[n]{x} Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Trigonometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Dreieckberechnung[Bearbeiten]

Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten a = BC, b = CA und c = AB, die Winkel α, β und γ bei den Ecken A, B und C. Ferner seien r der Umkreisradius, ρ der Inkreisradius und ρa, ρb und ρc die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC. Die Variable s steht für den halben Umfang des Dreiecks ABC: s=\frac{a+b+c}{2}. Schließlich wird die Fläche des Dreiecks ABC mit F bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Winkelsumme[Bearbeiten]

\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}.

Sinussatz[Bearbeiten]

Formel 1:

\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2r= \frac{a b c}{2 F}


Formel 2: wenn  \gamma = 90^{\circ}

\sin \alpha =\frac{a}{c}
\sin \beta =\frac{b}{c}

Kosinussatz[Bearbeiten]

Formel 1:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha
b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma


Formel 2: wenn  \gamma = 90^{\circ}

\ a^2+b^2=c^2 (Satz des Pythagoras)
\cos \alpha =\frac{b}{c}
\cos \beta =\frac{a}{c}

Projektionssatz[Bearbeiten]

a = b\,\cos\gamma + c\,\cos\beta
b = c\,\cos\alpha + a\,\cos\gamma
c = a\,\cos\beta + b\,\cos\alpha

Die Mollweideschen Formeln[Bearbeiten]

\frac{b+c}{a} = \frac{\cos \frac{\beta  -\gamma }{2} } {\sin \frac{\alpha }{2}}, \frac{c+a}{b} = \frac{\cos \frac{\gamma -\alpha }{2} } {\sin \frac{\beta  }{2}}, \frac{a+b}{c} = \frac{\cos \frac{\alpha -\beta  }{2} } {\sin \frac{\gamma }{2}}
\frac{b-c}{a} = \frac{\sin \frac{\beta  -\gamma }{2} } {\cos \frac{\alpha }{2}},  \frac{c-a}{b} = \frac{\sin \frac{\gamma -\alpha }{2} } {\cos \frac{\beta  }{2}},  \frac{a-b}{c} = \frac{\sin \frac{\alpha -\beta  }{2} } {\cos \frac{\gamma }{2}}

Tangenssatz[Bearbeiten]

Formel 1:

\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta +\gamma }{2}}{\tan \frac{\beta
  -\gamma }{2}}=\frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}

Analoge Formeln gelten für (c + a) / (ca) und (a + b) / (ab).

Formel 2: wenn α = 90°

\tan \beta =\frac{b}{c}
\tan \gamma =\frac{c}{b}

Formeln mit dem halben Umfang[Bearbeiten]

Im Folgenden bedeutet s immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ABC, also s=\frac{a+b+c}{2}.

 s-a = \frac{b+c-a}{2}
 s-b = \frac{c+a-b}{2}
 s-c = \frac{a+b-c}{2}
 \left( s-b\right) +\left( s-c\right) =a
 \left( s-c\right) +\left( s-a\right) =b
 \left( s-a\right) +\left( s-b\right) =c
 \left( s-a\right) +\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =s
\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{bc}}
\sin \frac{\beta  }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-c\right) \left( s-a\right) }{ca}}
\sin \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{ab}}
\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-a\right) }{bc}}
\cos \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) }{ca}}
\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-c\right) }{ab}}
\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s\left( s-a\right) }}
\tan \frac{\beta  }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-c\right) \left( s-a\right) }{s\left( s-b\right) }}
\tan \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{s\left( s-c\right) }}
s=4r\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
s-a=4r\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}

Flächeninhalt und Umkreisradius[Bearbeiten]

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC wird hier mit F bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit A, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke A auszuschließen):

Den Umkreisradius des Dreiecks ABC bezeichnen wir mit r.

(Es ist zu beachten, dass die hier benutzten Bezeichnungen r, ρ, ρa, ρb, ρc für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen R, r, ra, rb, rc genannt werden.)

Heronsche Formel:

F=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }=\frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }

F=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right) -\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) }
F=\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ca\sin \beta =\frac{1}{2}ab\sin\gamma
F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}, wobei ha, hb und hc die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC sind.
F= 2 r^{2} \sin\,\alpha\,\sin\,\beta\,\sin\,\gamma
F=\frac{abc}{4r}
F=\rho s = \rho_{a}\left( s-a\right) =\rho _{b}\left( s-b\right) =\rho_{c}\left( s-c\right)
F=\sqrt{\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}
F=4\rho r \cos\,\frac{\alpha}{2}\,\cos\,\frac{\beta}{2}\,\cos\,\frac{\gamma}{2}
F=s^{2} \tan\,\frac{\alpha}{2}\,\tan\,\frac{\beta}{2}\,\tan\,\frac{\gamma}{2}

Erweiterter Sinussatz:

\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r=\frac{a b c}{2 F}

a = 2 r\,\sin \alpha
b = 2 r\,\sin \beta
c = 2 r\,\sin \gamma
r =\frac{abc}{4F}

In- und Ankreisradien[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius ρ und die Ankreisradien ρa, ρb und ρc des Dreiecks ABC vorkommen.

\rho =\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\beta }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\gamma }{2}
\rho =4r\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}=s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}
\rho =r\left( \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)
\rho =\frac{F}{s}=\frac{abc}{4rs}
\rho =\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }{a+b+c}}
\rho =\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}=\frac{b}{\cot
  \frac{\gamma }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}}=\frac{c}{\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}}
a\cdot b + b\cdot c + c\cdot a = s^2 + \rho^2 + 4\cdot\rho\cdot r [1]

Wichtige Ungleichung: 2\rho \leq r; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck ABC gleichseitig ist.

\rho _{a}=s\tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \cot \frac{\gamma }{2}=\left( s-c\right) \cot \frac{\beta }{2}
\rho _{a}=4r\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}=\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}
\rho _{a}=r\left( -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)
\rho _{a}=\frac{F}{s-a}=\frac{abc}{4r\left( s-a\right) }
\rho _{a}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( a+b+c\right) \left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }{b+c-a}}

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für ρa gilt in analoger Form für ρb und ρc.

\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}

Höhen[Bearbeiten]

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC werden mit ha, hb und hc bezeichnet.

h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2F}{a}=2r\sin \beta \sin \gamma
h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma =\frac{2F}{b}=2r\sin \gamma \sin \alpha
h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha =\frac{2F}{c}=2r\sin \alpha \sin \beta
h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma };\;\;\;\;\;h_{b}=\frac{b}{\cot\gamma +\cot \alpha };\;\;\;\;\;h_{c}=\frac{c}{\cot \alpha +\cot \beta }
F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}

Hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C (ist also γ = 90°), dann gilt

h_{c} = \frac{a b}{c}
h_{a} = b \,
h_{b} = a \,

Seitenhalbierende[Bearbeiten]

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC werden sa, sb und sc genannt.

s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha }
s_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+ca\cos \beta }
s_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+ab\cos \gamma }
s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)

Winkelhalbierende[Bearbeiten]

Wir bezeichnen mit wα, wβ und wγ die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck ABC.

w_{\alpha }=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}=\frac{2F}{a\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}
w_{\beta }=\frac{2ca\cos \frac{\beta }{2}}{c+a}=\frac{2F}{b\cos \frac{\gamma -\alpha }{2}}
w_{\gamma }=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}=\frac{2F}{c\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}

Allgemeine Trigonometrie in der Ebene[Bearbeiten]

Gegenseitige Darstellung[Bearbeiten]

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

\tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x }
\sin ^{2}x + \cos ^{2}x = 1      („Trigonometrischer Pythagoras“)
1+\tan ^{2}x=\frac{1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x
1+\cot ^{2}x=\frac{1}{\sin ^{2}x}=\csc ^{2}x

(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

\sin x = \sqrt{ 1 - \cos^2 x } für x \in \left[0,\pi \right]=[0^\circ,180^\circ]
\sin x = - \sqrt{ 1 - \cos^2 x } für x \in \left[ \pi , 2\pi \right]=[180^\circ,360^\circ]
\sin x = \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } für x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right] 
=[0^\circ,90^\circ] \cup [270^\circ, 360^\circ]
\sin x = - \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } für x \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]=[90^\circ,270^\circ]
 \cos x = \sqrt{ 1 - \sin^2 x } für x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]
=[0^\circ,90^\circ]\cup [270^\circ,360^\circ]
 \cos x = - \sqrt{ 1 - \sin^2 x } für  x\in \left[ \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right]=[90^\circ ,270^\circ]
 \cos x = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \tan^2 x } } für x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]
=[0^\circ,90^\circ] \cup [270^\circ,360^\circ]
 \cos x = - \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } für x \in \left[ \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right]=[90^\circ,270^\circ]
 \tan x = \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } für x \in \left[0,\pi \right]=[0^\circ,180^\circ]
 \tan x = - \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } für x \in \left[ \pi,2\pi \right]=[180^\circ,360^\circ]
 \tan x = \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } für x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]
=[0^\circ,90^\circ]\cup [270^\circ,360^\circ]
 \tan x = - \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } für  x\in \left[ \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right]=[90^\circ,270^\circ]

Vorzeichen der Winkelfunktionen[Bearbeiten]

 \sin x > 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 0^{\circ },180^\circ\right[
 \sin x < 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 180^{\circ },360^\circ\right[
 \cos x > 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left[ 0^\circ,90^\circ\right[ \cup \left] 270^\circ,360^\circ\right]
 \cos x < 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 90^{\circ },270^\circ\right[
 \tan x > 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 0^{\circ },90^\circ\right[ \cup \left] 180^\circ,270^\circ\right[
 \tan x < 0 \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x\in \left] 90^{\circ },180^\circ\right[ 
\cup \left] 270^\circ,360^\circ\right[

Die Vorzeichen von cot, sec und csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan, cos bzw. sin.

Wichtige Funktionswerte[Bearbeiten]

α ° α (rad) sin α cos α tan α cot α
0^\circ \,0 \,0 \,1 \,0 \pm\infty
15^\circ \tfrac{\pi}{12} \tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2}) 2-\sqrt{3} 2+\sqrt{3}
18^\circ \tfrac{\pi}{10} \tfrac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \tfrac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5}\sqrt{25-10\sqrt{5}} \sqrt{5+ 2\sqrt{5}}
30^\circ \tfrac{\pi}{6} \tfrac12 \tfrac12\sqrt3 \tfrac13\sqrt3 \sqrt3
36^\circ \tfrac{\pi}{5} \tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right) \sqrt{5- 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}}
45^\circ \tfrac{\pi}{4} \tfrac12\sqrt2 \tfrac12\sqrt2  1\,  1\,
54^\circ \tfrac{3\pi}{10} \tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right) \tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}} \sqrt{5- 2\sqrt{5}}
60^\circ \tfrac{\pi}{3} \tfrac12\sqrt3 \tfrac12 \sqrt3 \tfrac13\sqrt3
72^\circ \tfrac{2\pi}{5} \tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{4} \left (\sqrt{5}-1 \right) \sqrt{5+ 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}}
75^\circ \tfrac{5\pi}{12} \tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2}) 2+\sqrt{3} 2-\sqrt{3}
90^\circ \tfrac{\pi}{2} \,1 \,0 \pm\infty \,0
108^\circ \tfrac{3\pi}{5} \tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{4} \left (1- \sqrt{5} \right) -\sqrt{5+ 2\sqrt{5}} -\tfrac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}}
120^\circ \tfrac{2\pi}{3} \tfrac12\sqrt3 -\tfrac12 -\sqrt3 -\tfrac13\sqrt3
135^\circ \tfrac{3\pi}{4} \tfrac12\sqrt2 -\tfrac12\sqrt2 -1\, -1\,
180^\circ \pi\, \,0 \,-1 \,0 \pm\infty
270^\circ \tfrac{3\pi}{2} \,-1 \,0 \pm\infty \,0
360^\circ 2\pi \,0 \,1 \,0 \pm\infty

Weblink: weitere Werte

Symmetrien[Bearbeiten]

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

 \sin (-x) = - \sin x \;
 \cos (-x) = + \cos x \;
 \tan (-x) = - \tan x \;
 \cot (-x) = - \cot x \;
 \sec (-x) = + \sec x \;
 \csc (-x) = - \csc x \;

Phasenverschiebungen[Bearbeiten]

 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x \; \quad \mathrm{bzw.} \quad \sin \left(x + 90^{\circ } \right) = \cos x \;
 \cos \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = - \sin x \;\quad \mathrm{bzw.} \quad \cos \left(x + 90^{\circ } \right) = - \sin x \;
 \tan \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = - \cot x \; \quad \mathrm{bzw.} \quad\tan \left(x + 90^{\circ } \right) = - \cot x \;
 \cot \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = - \tan x \;\quad \mathrm{bzw.} \quad\cot \left(x + 90^{\circ } \right) = - \tan x \;

Rückführung auf spitze Winkel[Bearbeiten]

 \sin x\ \; = \;\;\; \sin \left(\pi-x\right)  \,   \quad \mathrm{bzw.} \quad  
         \sin x\ = \;\;\; \sin \left(180^{\circ }-x\right)
 \cos x\ \, = -\cos \left(\pi-x\right)     \quad \mathrm{bzw.} \quad  
         \cos x\ = -\cos \left(180^{\circ }-x\right)
 \tan x\ = -\tan \left(\pi-x\right)     \quad \mathrm{bzw.} \quad  
         \tan x\ = -\tan \left(180^{\circ }-x\right)

Darstellung durch den Tangens des halben Winkels[Bearbeiten]

Mit der Bezeichnung t = \tan\tfrac{x}{2} gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges x

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2},   \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},
\tan x = \frac{2t}{1 - t^2},   \cot x = \frac{1 - t^2}{2t},
\sec x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},   \csc x = \frac{1 + t^2}{2t}.

Additionstheoreme[Bearbeiten]

 \sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y [2]
 \cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y [2]
 \tan ( x \pm y ) = \frac{ \tan x \pm \tan y }{ 1 \mp \tan x \; \tan y } = \frac{ \sin (x \pm y) }{ \cos (x \pm y) }
 \cot ( x \pm y ) = \frac{ \cot x \cot y \mp 1 }{ \cot x \pm \cot y } = \frac{ \cos (x \pm y) }{ \sin (x \pm y) }

Für x=y folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für y = \pi/2 die Phasenverschiebungen.

 \sin ( x + y ) \cdot \sin ( x - y ) = \cos^2 y - \cos^2 x  = \sin^2 x - \sin^2 y
 \cos ( x + y ) \cdot \cos ( x - y ) = \cos^2 y - \sin^2 x  = \cos^2 y + \cos^2 x - 1= 1-\sin^2 x - \sin ^2 y

Additionstheoreme für Arkusfunktionen[Bearbeiten]

Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme[3]

Summanden Summenformel Gültigkeitsbereich
\arcsin x + \arcsin y= \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right) xy\leq 0 oder x^2+y^2\leq 1
\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right) x>0 und y>0 und x^2+y^2> 1
-\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right) x<0 und y<0 und x^2+y^2> 1
\arcsin x - \arcsin y= \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right) xy\geq 0 oder x^2+y^2\leq 1
\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right) x>0 und y<0 und x^2+y^2> 1
-\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right) x<0 und y>0 und x^2+y^2> 1
\arccos x + \arccos y= \arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y\geq 0
2\pi - \arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y<0
\arccos x - \arccos y= -\arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y\geq 0
\arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y<0
\arctan x + \arctan y= \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) xy< 1
\pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) x>0 und xy>1
-\pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) x<0 und xy>1
\arctan x - \arctan y= \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) xy> -1
\pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) x>0 und xy<-1
-\pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) x<0 und xy<-1

Doppelwinkelfunktionen[Bearbeiten]

 \sin (2x)= 2 \sin x \; \cos x = \frac{2 \tan x}{ 1 + \tan^2 x }
 \cos (2x)= \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = \frac{ 1 - \tan^2 x }{ 1 + \tan^2 x }
 \cos (2x) \cos (x) + \sin (2x) \sin (x) = \cos (x)
 \tan (2x)= \frac{ 2 \tan x }{ 1 - \tan^2 x } = \frac{2}{ \cot x - \tan x }
 \cot (2x)= \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x } = \frac{ \cot x - \tan x}{2}

Winkelfunktionen für weitere Vielfache[Bearbeiten]

Die Formel für \cos(nx) steht über T_n(\cos x)=\cos(n x)[4] mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.

 \sin (3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \,[5]
 = \; \sin x \left( 4 \cos^2 x - 1 \right)
 \sin (4x) = 8 \sin x \; \cos^3 x - 4 \sin x \; \cos x [6]
 = \; \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right)
 \sin (5x) = 5 \sin x - 20\sin^3 x + 16 \sin^5 x \;[7]
 = \; \sin x \left( 16 \cos^4 x - 12 \cos^2 x + 1 \right)
 \sin (nx) = n \; \sin x \; \cos^{n - 1} x - {n \choose 3} \sin^3 x \; \cos^{n - 3} x + {n \choose 5} \sin^5 x \; \cos^{n - 5} x \; - \; + \; \dots [8][9]
 = \; \sum_{j=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} (-1)^{j} {n \choose 2j + 1} \sin^{2j+1} x \; \cos^{n - 2j - 1} x
 = \; \sin x \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} (-1)^k {n-k-1 \choose k} 2^{n-2k-1} \cos^{n-2k-1} x
 \cos (3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \,[10]
 \cos (4x) = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1 \,[11]
 \cos (5x) = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x \,[12]
 \cos (6x) = 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 18 \cos^2 x - 1 \,[13]
 \cos (nx) = \cos^n x - {n \choose 2} \sin^2 x \; \cos^{n - 2} x + {n \choose 4} \sin^4 x \; \cos^{n - 4} x \; - \; + \; \dots  [9][14]
 = \; \sum_{j=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} (-1)^{j} {n \choose 2j} \sin^{2j} x \; \cos^{n - 2j} x
 \tan (3x) = \frac{ 3 \tan x - \tan^3 x }{ 1 - 3 \tan^2 x }[9]
 \tan (4x) = \frac{ 4 \tan x - 4 \tan^3 x }{ 1 - 6 \tan^2 x + \tan^4 x }[9]
 \cot (3x) = \frac{ \cot^3 x - 3 \cot x }{ 3 \cot^2 x - 1 }[9]
 \cot (4x) = \frac{ \cot^4 x - 6 \cot^2 x + 1 }{ 4 \cot^3 x - 4 \cot x }[9]

Halbwinkelformeln[Bearbeiten]

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln[9]. Das Vorzeichen wechselt alle 360° (\sin und \cos) bzw. alle 180 ° für \tan und \cot.

 \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}
 \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}
 \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = \frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}
 \cot \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}} = \frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x}

Außerdem gilt für einen beschränkten Bereich von x:

 \tan\frac{x}{2} = \frac{\tan x}{1 + \sqrt{1+\tan^2 x}} \quad\mbox{für}\quad x \in \left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right[

Siehe auch: Halbwinkelsatz

Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)[Bearbeiten]

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:[9]

\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}
\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}
\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}
\cos x-\cos y=2\sin \frac{y+x}{2}\sin \frac{y-x}{2}

  \left. \begin{matrix}
    \tan x+\tan y=\dfrac{\sin (x+y) }{\cos x\cos y}\\[1em]
    \tan x-\tan y=\dfrac{\sin (x-y) }{\cos x\cos y}
  \end{matrix} \right\} \Rightarrow \tan x \pm \tan y=\frac{\sin (x \pm y) }{\cos x\cos y}

  \left. \begin{matrix}
    \cot x + \cot y = \dfrac{\sin (y+x) }{\sin x\sin y}\\[1em]
    \cot x - \cot y = \dfrac{\sin (y-x) }{\sin x\sin y}
  \end{matrix} \right\} \Rightarrow \cot x \pm \cot y=\frac{\sin (y \pm x) }{\sin x\sin y}

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

\cos x + \sin x = \sqrt{2}\cdot\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cdot\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)
\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cdot\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\cdot\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)

Produkte der Winkelfunktionen[Bearbeiten]

Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:[9]

\sin x \; \sin y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) - \cos (x+y)\Big)
\cos x \; \cos y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) + \cos (x+y)\Big)
\sin x \; \cos y = \frac{1}{2}\Big(\sin (x-y) + \sin (x+y)\Big)
\tan x \; \tan y = \frac{\tan x + \tan y}{\cot x + \cot y} = - \frac{\tan x - \tan y}{\cot x - \cot y}
\cot x \; \cot y = \frac{\cot x + \cot y}{\tan x + \tan y} = - \frac{\cot x - \cot y}{\tan x - \tan y}
\tan x \; \cot y = \frac{\tan x + \cot y}{\cot x + \tan y} = - \frac{\tan x - \cot y}{\cot x - \tan y}
\sin x \; \sin y \; \sin z = \frac{1}{4} \Big(\sin (x+y-z) + \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) - \sin (x+y+z)\Big)
\cos x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(\cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) + \cos (x+y+z)\Big)
\sin x \; \sin y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(- \cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) - \cos (x+y+z)\Big)
\sin x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(\sin (x+y-z) - \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) + \sin (x+y+z)\Big)

Aus der Doppelwinkelfunktion für \sin(2x) folgt außerdem:

\sin x \; \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x)

Potenzen der Winkelfunktionen[Bearbeiten]

Sinus[Bearbeiten]

\sin^2 x = \frac{1}{2}\ \Big(1 - \cos (2x) \Big) [9][15]
\sin^3 x = \frac{1}{4}\ \Big(3 \sin x - \sin (3x) \Big) [9][16]
\sin^4 x = \frac{1}{8}\ \Big(\cos (4x) - 4 \cos (2x) + 3 \Big) [9][17]
\sin^5 x = \frac{1}{16}\ \Big(10\, \sin x - 5 \sin (3x) + \sin (5x) \Big) [18]
\sin^6 x = \frac{1}{32}\ \Big(10 - 15\, \cos (2x) + 6 \cos (4x) - \cos (6x) \Big) [19]
\sin^n x = \frac{1}{2^n}\ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cos \Big( (n-2k) (x-\frac{\pi}{2}\ ) \Big) \ ; \quad n \in \mathbb{N}
\sin^n x = \frac{1}{2^n} {n \choose \frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} {n \choose k} \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ gerade }
\sin^n x = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} {n \choose k} \sin{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ ungerade}

Kosinus[Bearbeiten]

\cos^2 x = \frac{1}{2}\ \Big(1 + \cos (2x) \Big) [9][20]
\cos^3 x = \frac{1}{4}\ \Big(3 \cos x + \cos (3x) \Big) [9][21]
\cos^4 x = \frac{1}{8}\ \Big(3 + 4 \cos (2x) + \cos (4x) \Big) [9][22]
\cos^5 x = \frac{1}{16}\ \Big(10 \cos x + 5 \cos (3x) + \cos (5x) \Big) [23]
\cos^6 x = \frac{1}{32}\ \Big(10 + 15 \cos (2x) + 6 \cos (4x) + \cos (6x) \Big) [24]
\cos^n x = \frac{1}{2^n}\ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cos((n-2k)x) ; \quad n \in \mathbb{N}
\cos^n x = \frac{1}{2^n} {n \choose \frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} {n \choose k} \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ gerade }
\cos^n x = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose k} \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ ungerade}

Tangens[Bearbeiten]

\tan^2 x = \frac{1 - \cos (2x)}{1 + \cos (2x)}

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen[Bearbeiten]

 \sin ( \arccos x) = \cos ( \arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
 \sin ( \arctan x) = \frac{x}{ \sqrt{1 + x^2} }
 \cos ( \arctan x) = \frac{1}{ \sqrt{1 + x^2} }
 \tan ( \arcsin x) = \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} }
 \tan ( \arccos x) = \frac{ \sqrt{1 - x^2} }{x}

Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°[Bearbeiten]

Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus α + β + γ = 180°, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,
\cot \beta \cdot \cot \gamma + \cot \gamma \cdot \cot \alpha + \cot \alpha \cdot \cot \beta =1
\cot \frac{\alpha }{2}+ \cot \frac{\beta }{2}+ \cot \frac{\gamma }{2}= \cot \frac{\alpha }{2} \cdot \cot \frac   {\beta }{2} \cdot \cot \frac{\gamma }{2}
\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1
\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}
\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1
-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1
 \sin (2\alpha) +\sin (2\beta) +\sin (2\gamma) =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,
-\sin (2\alpha) +\sin (2\beta) +\sin (2\gamma) =4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,
 \cos (2\alpha) +\cos (2\beta) +\cos (2\gamma) =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1 \,
-\cos (2\alpha) +\cos (2\beta) +\cos (2\gamma) =-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1 \,
\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2 \,
-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,
\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1 \,
-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1 \,
-\sin ^{2} (2\alpha)  +\sin ^{2} (2\beta) +\sin ^{2} (2\gamma) =-2\cos (2\alpha) \,\sin (2\beta) \,\sin (2\gamma)
-\cos ^{2} (2\alpha) +\cos ^{2} (2\beta) +\cos ^{2} (2\gamma) =2\cos (2\alpha) \,\sin (2\beta) \,\sin (2\gamma) +1

Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase[Bearbeiten]

\begin{align}
 a \sin \alpha + b \cos \alpha = & \begin{cases}
   \sqrt{a^2+b^2} \sin \left(\alpha +\arctan \left(\tfrac{b}{a}\right)\right) & \text{, für alle } a > 0\\
   \sqrt{a^2+b^2} \cos \left(\alpha -\arctan \left(\tfrac{a}{b}\right)\right) & \text{, für alle } b > 0
  \end{cases}
\end{align}


a \sin(x+\alpha)+ b \sin(x+\beta)= \sqrt{a^2+b^2+2a b \cos(\alpha-\beta)}\cdot\sin(x+\delta),

wobei \delta= \operatorname{atan2} (a \sin \alpha+b \sin \beta, a \cos \alpha+b\cos\beta).

Allgemeiner ist

\sum_i a_i \sin(x+\delta_i)= a \sin(x+\delta),

wobei

a^2=\sum_{i,j}a_i a_j \cos(\delta_i-\delta_j)

und

\delta= \operatorname{atan2} \left(\sum_i a_i \sin\delta_i, \sum_i a_i \cos\delta_i\right).

Reihenentwicklung[Bearbeiten]

Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt x = 0) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle x aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert (B_n bzw. \beta_n bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

\begin{align}
\sin x&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
&=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm\cdots \;,\qquad |x| < \infty 
\end{align}

\begin{align}
\cos x &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\
&=1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots \;,\qquad |x| < \infty 
\end{align}

\begin{align}
\tan x &=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2^{2n}(1-2^{2n})\beta_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1}\\
&=x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \, \cdots \qquad  |x| < \tfrac{\pi}{2}
\end{align}[25]

\begin{align}
\cot x &= \frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n-1}2^{2n} \beta_{2n}}{(2n)!} x^{2n - 1} = \frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{n}}{(2n)!} x^{2n - 1} \\
&= \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \frac{1}{4725}x^7 - \,\cdots,  \qquad 0 < |x| < \pi
\end{align}[26]

Produktentwicklung[Bearbeiten]

 \sin x = x \prod_{k=1}^\infty  \left( 1 -  \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right)

 \cos x = \prod_{k=1}^\infty  \left( 1 -  \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right)

Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Ferner besteht zwischen den Funktionen  \sin x ,  \cos x und der komplexen Exponentialfunktion  \exp (\mathrm{i}x) folgender Zusammenhang:

 \exp(\mathrm{i}x)=\cos x + \mathrm{i} \sin x = e^{\mathrm{i}x}\; (Eulersche Formel)

Weiterhin wird  \cos{x} + \mathrm{i} \sin{x}=:\operatorname{cis} (x) \; geschrieben.[27]

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

 \cos x = \frac{\exp(\mathrm{i}x)+\exp(-\mathrm{i}x)}{2}

 \sin x = \frac{\exp(\mathrm{i}x)-\exp(-\mathrm{i}x)}{2\mathrm{i}}

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

Sphärische Trigonometrie[Bearbeiten]

Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

Literatur, Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Die Wurzel 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis
  2. a b Otto Forster Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen vieweg 1983 Seite 87
  3. I.N.Bronstein, K.A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S 237
  4. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 22.3.15, (s.a. oben "Weblinks")
  5. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.27, (s.a. oben "Weblinks")
  6. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.29, (s.a.oben "Weblinks")
  7. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 5th edition (1994). ISBN 0-12-294755-X 1.333.4
  8. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3 (Bei dieser Formel enthält Gradshteyn/Ryzhik allerdings einen Vorzeichenfehler)
  9. a b c d e f g h i j k l m n o I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979. 2.5.2.1.3
  10. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.28, (s.a. oben "Weblinks")
  11. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.30, (s.a. oben "Weblinks")
  12. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.4
  13. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.5
  14. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3
  15. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.1
  16. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.2
  17. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.3
  18. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.4
  19. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.5
  20. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.1
  21. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.2
  22. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.3
  23. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.4
  24. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.5
  25. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.67, (s.a. oben "Weblinks")
  26. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.70, (s.a. oben "Weblinks")
  27. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser Verlag, Basel 2006, 3. Auflage, S. 292 und 298