Formfaktor (Physik)

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In der Kern- und Teilchenphysik ist der Formfaktor F ein Faktor im Wirkungsquerschnitt bei elastischen Stößen. Er ist die Fourier-Transformierte der elektrischen Ladungsverteilung des Targetteilchens (z.B. Atomkern) und hängt vom Impuls ab, der während der Streuung übertragen wird. Der Formfaktor gibt also an, wie die Streuung vom Impulsübertrag abhängt. Durch Messung des Formfaktors bei unterschiedlichen Impulsüberträgen lassen sich Rückschlüsse auf die Ladungsverteilung des Targets ziehen.

Bei inelastischen Stößen treten an der Stelle des Formfaktors die Strukturfunktionen auf.

Formfaktor bei der Rutherford-Streuung[Bearbeiten]

Die Rutherfordsche Streuformel, die nur für die Streuung eines Teilchens an einer Punktladung (Coulombpotential) gilt, lässt sich für ausgedehnte Ladungsverteilungen erweitern. Der differentielle Wirkungsquerschnitt sieht dann wie folgt aus

\left(\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} \right)_{\theta} = \left( \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}\right)_{\textrm{Coul}} \cdot |F(\vec{q})|^2,

wobei F der Formfaktor der Ladungsverteilung ist.

Er hängt ab vom Impulsübertrag des einfallenden Teilchens

\vec{q} = \vec{p} - \vec{p} \, {}^\prime

und enthält alle Informationen über die räumliche Verteilung der Ladung im Streuzentrum. So kann man die Messung des Wirkungsquerschnittes bestimmter Streuprozesse in Abhängigkeit vom Impulsübertrag nutzen, um durch anschließenden Vergleich mit theoretischen Modellen Aussagen über die Form des Streupotentials zu machen.

In der Bornschen Näherung (d.h. das Potential der Wechselwirkung ist so schwach, dass Anfangs- und Endzustand näherungsweise als ebene Wellen behandelt werden können) ergibt sich der Formfaktor als Fourier-Transformierte der auf die Gesamtladung normierten Ladungsverteilungsfunktion f:

F(\vec{q}) = \int f(\vec{x}) \cdot e^{i\vec{q} \cdot \vec{x}/\hbar} \, \mathrm d^3x

mit

Die Ladungsverteilungsfunktion ist definiert als:

f(\vec{x}) = \frac{\rho(\vec{x})}{Z \cdot e},

wobei

sie muss der Normierungsbedingung

\int f(\vec{x}) \, \mathrm d^3x = 1

genügen.

Experimentelle Bestimmung[Bearbeiten]

Zur experimentellen Bestimmung der elektrischen und magnetischen Formfaktoren G_E und G_M benutzt man die Rosenbluth-Formel für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:

 \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} = \left(\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}\right)_{\textrm{Mott}} \cdot \left[ \frac{G_E^2(Q^2) + \tau \cdot G_M^2(Q^2)}{1 + \tau} + 2 \tau \cdot G_M^2(Q^2) \cdot \tan^2(\theta/2) \right]

mit:

Hat man den Wirkungsquerschnitt bei festem Q^2 für mehrere Streuwinkel gemessen, so macht man einen Rosenbluth-Plot, bei dem \tan^2(\theta/2) auf der x-Achse und (d\sigma/d\Omega) : \left(\mathrm d\sigma/\mathrm d\Omega\right)_{\textrm{Mott}} auf der y-Achse aufgetragen werden. Die Rosenbluth-Formel ist dann von der linearen Form

y(x) = A \cdot x + B,

wobei sich aus der Steigung A = 2 \tau \cdot G_M^2(Q^2) und dem Achsenabschnitt B = \frac{G_E^2(Q^2) + \tau \cdot G_M^2(Q^2)}{1 + \tau} die magnetischen und elektrischen Formfaktoren berechnen lassen:

\Rightarrow G_M(Q^2) = \sqrt{\frac{A}{2 \tau}} und
\Rightarrow G_E(Q^2) = \sqrt{B (1 + \tau) - \frac{A}{2}}.