Fredholm-Operator

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) ein bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

Definition

Ein beschränkter linearer Operator $A\colon X\to Y$ zwischen zwei Banachräumen $X$ und $Y$ heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: "$A$ ist Fredholm", wenn

• $\ker A$ endliche Dimension hat und
• $\mathrm{ran}\,A$ endliche Kodimension in $Y$ hat.

Dabei ist $\ker A$ der Kern von $A$, also die Menge $\{x\in X: Ax=0\}$ und $\mathrm{ran}\,A$ ist das Bild von $A$, also die Teilmenge $\{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y$.

Die Zahl

$\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}\,A,Y)\in\mathbb Z$

heißt Fredholm-Index von $A$.

Eigenschaften

• $\mathrm{ran}\; (A)$ ist ein abgeschlossener Unterraum.
• Die Abbildung

$\mathrm{ind}\colon A\mapsto\mathrm{ind}(A)$

ist stetig bezüglich der Operatornorm und daher wegen der Diskretheit von $\mathbb{Z}$ konstant auf Zusammenhangskomponenten.

• Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator $A: X\to Y$ genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren $B_1, B_2$ und kompakte Operatoren $K_1, K_2$ gibt, so dass $AB_1=I_Y-K_1$ und $B_2A=I_X-K_2$ gilt, d.h. wenn $A$ modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator $A: X\to X$ genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse $[A]_{\mathcal{C}(X)}$ in der Calkin-Algebra $\mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X)$ invertierbar ist.
• Für jeden Fredholm-Operator $A$ und jeden kompakten Operator $K$ ist $A+K$ ebenfalls ein Fredholm-Operator mit selbem Fredholm-Index wie $A$. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form $I+K$ für einen kompakten Operator $K$ ein Fredholm-Operator vom Index 0.
• Ist $A: X\to X$ ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein $\varepsilon > 0$, so dass für alle $\lambda\in\mathbb{C}$ mit $0 < |\lambda| < \varepsilon$ gilt:
  1. $A - \lambda I$ ist ein Fredholm-Operator;
  2. $\dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A$;
  3. $\mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A$;
  4. $\mathrm{ind}(A - \lambda I) = \mathrm{ind}(A)$.
• Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.
• Sei $n\geq 1, \Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein Lipschitz-Gebiet. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen $A:H^{1,2}(\Omega) \to H^{1,2}(\Omega)'$ definiert durch $A(u)(v) := \int_{\Omega} \sum_{i,j} \partial_i v a_{ij} \partial_j u$ für $u,v \in H^{1,2}(\Omega)$ ein Fredholm-Operator.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6