Fredholm-Operator

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In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) ein bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

Definition[Bearbeiten]

Ein beschränkter linearer Operator A\colon X\to Y zwischen zwei Banachräumen X und Y heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: "A ist Fredholm", wenn

Dabei ist \ker A der Kern von A, also die Menge \{x\in X: Ax=0\} und \mathrm{ran}\,A ist das Bild von A, also die Teilmenge \{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y.

Die Zahl

\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}\,A,Y)\in\mathbb Z

heißt Fredholm-Index von  A .

Eigenschaften[Bearbeiten]

Bild ist abgeschlossener Unterraum[Bearbeiten]

Das Bild  \mathrm{ran}\; (A) eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.

Komposition[Bearbeiten]

Die Komposition A \circ B zweiter Fredholm-Operatoren A und B ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt[1]

\operatorname{ind}(A\circ B) = \operatorname{ind}(A) + \operatorname{ind}(B).

Dualer Operator[Bearbeiten]

Sei A^* \colon Y' \to X' der zum Fredholm-Operator A duale Operator. Dann gilt \dim(\ker A') = \operatorname{codim}(\mathrm{ran}(A)) und \operatorname{codim}(\mathrm{ran}(A')) = \dim(\ker A). Daher ist auch A' ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt \operatorname{ind}(T') = - \operatorname{ind}(T).[2]

Satz von Atkinson[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator A \colon X\to Y genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren  B_1, B_2 und kompakte Operatoren  K_1, K_2 gibt, so dass  AB_1=I_Y-K_1 und  B_2A=I_X-K_2 gilt, das heißt wenn  A modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator  A \colon X\to X genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse [A]_{\mathcal{C}(X)} in der Calkin-Algebra \mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X) invertierbar ist.

Kompakte Störung[Bearbeiten]

Für jeden Fredholm-Operator A und jeden kompakten Operator K ist A+K ebenfalls ein Fredholm-Operator mit gleichem Fredholm-Index wie A. Daher sagt man, dass der Index eines Fredholm-Operators invariant unter kompakten Störungen ist. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form  I+K für einen kompakten Operator K ein Fredholm-Operator vom Index 0.

Stetigkeit des Fredholm-Index[Bearbeiten]

Seien A_0, A_1 \colon X \to Y Fredholm-Operatoren und \phi \colon X \times [0,1] \to Y eine Homotopie mit \phi(\cdot,0) = A_0 und \phi(\cdot,1) = A_1 für alle x \in X, dann gilt \operatorname{ind}(A_0) = \operatorname{ind}(A_1). Der Fredholm-Index ist daher eine homotopie-invariante Zahl.[3] Betrachtet man also eine stetige Familie A_t von Fredholm-Operatoren, dann ist

t \mapsto \mathrm{ind}(A_t)

eine stetige Abbildung bezüglich der Operatornorm. Da die Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z} ein diskreter topologischer Raum ist, ist t \mapsto \mathrm{ind}(A_t) eine lokal konstante Funktion, das heißt, sie ist auf einer Zusammenhangskomponenten konstant.

Surjektivität des Fredholm-Index[Bearbeiten]

Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist surjektiv.[4]

Punctured Neighbourhood Theorem[Bearbeiten]

Ist A \colon X\to X ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein \varepsilon > 0, so dass für alle \lambda\in\mathbb{C} mit 0 < |\lambda| < \varepsilon

  1. \dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A und
  2. \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A

gilt.[5] Insbesondere ist A - \lambda I also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus \mathrm{ind}(A - \lambda I) = \mathrm{ind}(A). Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg.[6]

Elliptische Operatoren[Bearbeiten]

Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.

Sei n\geq 1 und  \Omega \subset \mathbb{R}^n ein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen A \colon H^{1,2}(\Omega) \to H^{1,2}(\Omega)' definiert durch

 A(u)(v) := \int_{\Omega} \sum_{i,j} \partial_i v a_{ij} \partial_j u

für  u,v \in H^{1,2}(\Omega) ein Fredholm-Operator.

Beispiele[Bearbeiten]

Shiftoperator[Bearbeiten]

Hauptartikel: Shiftoperator

Integraloperator[Bearbeiten]

Ein klassisches Beispiel eines Fredholm-Operators ist der Operator

A := I + T,

wobei I der Identitätsoperator und T ein vollstetiger Operator ist. Auf dem Banachraum der stetigen Funktionen C([a,b]) beziehungsweise auf dem der quadratintegrierbaren Funktionen L^2([a,b]) ist der Operator A von der Form

(A \phi)(x) = \phi(x) + \int_a^b k(x,y) \phi(y) \mathrm{d} y,

wobei der Integralkern k eine stetige beziehungsweise quadratintegrierbare Funktion ist. Dieser Fredholm-Operator hat den Index 0. In der Fredholm-Theorie werden Gleichungen des Typs A \phi(x) = f(x) untersucht. Die Fredholm-Alternative als ein zentrales Resultat der Fredholm-Theorie gibt eine Antwort, unter welchen Bedingungen Gleichungen diesen Typs lösbar sind.

Laplace-Operator[Bearbeiten]

Hauptartikel: Laplace-Operator

Der Laplace-Operator


\Delta f = \sum_{k=1}^n {\partial^2 f\over \partial x_k^2}

definiert auf dem Sobolev-Raum H^2(\R^n) der zweimal schwach differenzierbaren quadratische integrierbaren Funktionen ist ein stetiger elliptischer Operator. Daher ist er auch ein Fredholm-Operator. Da er auch selbstadjungiert ist, hat er den Fredholm-Index 0.

Betrachtet man den Laplace-Operator im distributionellen Sinn auf L^2(\R^n), ist er kein stetiger Operator und somit kein Fredholm-Operator bezüglich der obigen Definition. Im Sinne von unbeschränkten Operatoren, wie dies später im Artikel noch erklärt wird, ist er allerdings weiterhin ein Fredholm-Operator.

Elliptischer Operator auf einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten]

Der Kreis (als  \mathbb R/\mathbb Z gedacht) kann als eindimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit verstanden werden. Ein stetiger elliptischer Differentialoperator erster Ordnung auf den glatten Funktionen vom Kreis in die komplexen Zahlen ist durch

D = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - 2\pi i\lambda

für eine komplexe Konstante \lambda gegeben. Der Kern von D ist der von den Termen der Form \exp (i 2\pi\, \lambda\, x) aufgespannte Raum, falls  \lambda\in \mathbb Z, und 0 in den anderen Fällen. Der Kern des adjungierten Operators ist ein ähnlicher Raum, nur wird \lambda durch sein komplex-konjugiertes ersetzt. der Fredholm-Operator D hat damit den Index 0. Dieses Beispiel zeigt, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten Terme erfasst werden. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ändert sich ihre Differenz, der Index, stetig.

Unbeschränkte Fredholm-Operatoren[Bearbeiten]

Bis jetzt wurde in diesem Artikel der Fredholm-Operator nur als spezieller beschränkter Operator betrachtet. Beispielsweise in der Indextheorie elliptischer Operatoren über nicht kompakten Räumen ist es jedoch sinnvoll die Definition des Fredholm-Operators auf unbeschränkte Operatoren zu erweitern. Im Gegensatz zum beschränkten Fall, müssen hier einige weitere Eigenschaften gefordert werden, die der beschränkte Fredholm-Operator automatisch erfüllt.

Seien X und Y zwei Banachräume. Ein (unbeschränkter) Operator A \colon X \to Y wird Fredholm-Operator genannt, falls

  • A abgeschlossen ist,
  • der Operator A dicht definiert ist,
  • die Dimension des Kerns \operatorname{ker}(A) endlich ist,
  • das Bild \operatorname{ran}(A) abgeschlossen ist und
  • die Kodimension von \operatorname{ran}(A) in Y endlich ist.

Der Fredholm-Index ist wie im Fall beschränkter Operatoren durch

\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}(A))\in\mathbb Z

definiert.

Der unbeschränkte Fredholm-Operator beziehungsweise sein Index erfüllen ebenfalls die meisten der oben angeführten Eigenschaften. So ist die Verkettung unbeschränkter Fredholm-Opertoren wieder ein Fredholm-Operator, für den obige Indexformel gilt, der Satz von Atkinson gilt ebenfalls und der Fredholm-Index unbeschränkter Fredholm-Operator ist auch invariant unter kompakten Störungen. Eine Verbindung zur Calkin-Algebra besteht für unbeschränkte Fredholm-Operatoren allerdings nicht.[7]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 159.
  2.  Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 156.
  3.  Masoud Khalkhali: Basic Noncommutative Geometry. 2. Auflage. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6, S. 201.
  4.  Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Springer/Vieweg, 2005, ISBN 978-3-322-80243-9, S. 164–165.
  5.  Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 171, 293–294.
  6.  Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 231.
  7. Martin Schechter: Fredholm Operators and the Essential Spectrum. (Online)