Fredholm-Operator

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) ein bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

Definition[Bearbeiten]

Ein beschränkter linearer Operator A\colon X\to Y zwischen zwei Banachräumen X und Y heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: "A ist Fredholm", wenn

Dabei ist \ker A der Kern von A, also die Menge \{x\in X: Ax=0\} und \mathrm{ran}\,A ist das Bild von A, also die Teilmenge \{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y.

Die Zahl

\mathrm{ind}(A)= \dim(\ker A) - \mathrm{codim}(\mathrm{ran}\,A,Y)\in\mathbb Z

heißt Fredholm-Index von  A .

Eigenschaften[Bearbeiten]

  •  \mathrm{ran}\; (A) ist ein abgeschlossener Unterraum.
  • Die Abbildung
\mathrm{ind}\colon A\mapsto\mathrm{ind}(A)
ist stetig bezüglich der Operatornorm und daher wegen der Diskretheit von \mathbb{Z} konstant auf Zusammenhangskomponenten.
  • Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator  A: X\to Y genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren  B_1, B_2 und kompakte Operatoren  K_1, K_2 gibt, so dass  AB_1=I_Y-K_1 und  B_2A=I_X-K_2 gilt, d.h. wenn  A modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator  A: X\to X genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse [A]_{\mathcal{C}(X)} in der Calkin-Algebra \mathcal{B}(X)/\mathcal{C}(X) invertierbar ist.
  • Für jeden Fredholm-Operator A und jeden kompakten Operator K ist A+K ebenfalls ein Fredholm-Operator mit selbem Fredholm-Index wie A. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form  I+K für einen kompakten Operator K ein Fredholm-Operator vom Index 0.
  • Ist A: X\to X ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein \varepsilon > 0, so dass für alle \lambda\in\mathbb{C} mit 0 < |\lambda| < \varepsilon gilt:
    1. A - \lambda I ist ein Fredholm-Operator;
    2. \dim\ker (A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \dim\ker A;
    3. \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}(A - \lambda I) \equiv \mathrm{const} \le \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}A;
    4. \mathrm{ind}(A - \lambda I) = \mathrm{ind}(A).
  • Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.
  • Sei n\geq 1, \Omega \subset \mathbb{R}^n ein Lipschitz-Gebiet. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen A:H^{1,2}(\Omega) \to H^{1,2}(\Omega)' definiert durch  A(u)(v) := \int_{\Omega} \sum_{i,j} \partial_i v a_{ij} \partial_j u für  u,v \in H^{1,2}(\Omega) ein Fredholm-Operator.

Literatur[Bearbeiten]