Frobenius-Methode

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Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius, ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

u''+p(z) u'+ q(z) u = 0

zu finden, wobei (z-z_0) p(z) und (z-z_0)^2 q(z) als analytisch in einer Umgebung von z=z_0 vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

u(z) =  (z-z_0)^\alpha \sum_{n=0}^\infty u_n (z-z_0)^n

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten \alpha, u_n durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen[1] und danach von Frobenius verallgemeinert[2].

Satz von Fuchs[Bearbeiten]

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir z_0=0 setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung

u''+p(z) u'+ q(z) u = 0

wobei p(z) bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und q(z) bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

p(z) =  \frac{1}{z} \sum_{n=0}^\infty p_n z^n, \qquad q(z) =  \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^\infty q_n z^n

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

\alpha_{1,2} = \frac{1}{2} \left( 1-p_0 \pm \sqrt{(p_0-1)^2 - 4q_0} \right)

sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

\alpha^2 + (p_0-1) \alpha + q_0 =0

und wir können sie gemäß \mathrm{Re}(\alpha_1 ) \geq \mathrm{Re}(\alpha_2 ) ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

  • Ist \alpha_1-\alpha_2 keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form
u_j(z) =  z^{\alpha_j} \sum_{n=0}^\infty u_{j,n} z^n, \qquad u_{j,0}=1, \quad j=1,2.
  • Ist \alpha_1-\alpha_2 eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form
u_1(z) =  z^{\alpha_1} \sum_{n=0}^\infty u_{1,n} z^n, \qquad u_2(z) =  z^{\alpha_2} \sum_{n=0}^\infty u_{2,n} z^n + c \log(z) u_1(z), \qquad u_{j,0}=1.

Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für p(z) und q(z).

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat p(z) bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und q(z) bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive \infty) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Beispiele[Bearbeiten]

Einige Beispiele die mit der Methode von Frobenius gelöst werden können:

Literatur[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. L. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121.
  2. G. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214.