Frobeniushomomorphismus

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Der Frobeniushomomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen, deren Charakteristik eine Primzahl ist. Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Frobeniusendomorphismus eines Rings[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Es sei R ein kommutativer unitärer Ring mit der Charakteristik p, wobei p eine Primzahl ist. Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung

\phi_p: R \to R,\ \ x \mapsto x^p

bezeichnet. Sie ist ein Ringhomomorphismus.

Ist q=p^e, dann ist auch

\phi_q=\phi_p^e: R\to R,\ \ x \mapsto x^q

ein Ringhomomorphismus.

Beweis der Homomorphieeigenschaft[Bearbeiten]

Die Abbildung \phi_p ist verträglich mit der Multiplikation in R, da aufgrund der Potenzgesetze

\phi_p(x \cdot y) = (x \cdot y)^p = x^p \cdot y^p = \phi_p(x) \cdot \phi_p(y)

gilt. Ebenso gilt \phi_p(1) = 1^p = 1. Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in R verträglich, das heißt es gilt \phi_p(x+y) = \phi_p(x) + \phi_p(y). Mit Hilfe des Binomialsatzes folgt nämlich

(x+y)^p = x^p + \left( \sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k} x^{p-k}y^{k} \right) + y^p

Da p eine Primzahl ist, teilt p zwar p! aber nicht m! für  m < p. Da die Charakteristik p deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten

\binom p k = \frac {p!}{k! (p-k)!}

teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten in der obigen Formel. Die Addition vereinfacht sich zu

(x+y)^p = x^p + y^p

und ist verträglich mit der Addition in R. Dieser Zusammenhang wird im englischsprachigen Raum als Freshmen's Dream, der Traum der Anfänger, bezeichnet.

Verwendung[Bearbeiten]

Im Folgenden ist p stets eine Primzahl und q eine Potenz von p. Alle vorkommenden Ringe haben Charakteristik p.

A^{p^{-\infty}}=\varinjlim\left(A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} A \stackrel{\phi_p}{\longrightarrow} \dots\right)

Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Körpern[Bearbeiten]

Die folgenden Annahmen dienen dazu, sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung algebraischer Zahlkörper als auch lokaler Körper zu beschreiben. Sei A ein Dedekindring, K sein Quotientenkörper, L/K eine endliche Galoiserweiterung, B der ganze Abschluss von A in L. Dann ist B ein Dedekindring. Sei weiter \mathfrak{P} ein maximales Ideal in B mit endlichem Restklassenkörper \lambda=B/\mathfrak{P}, außerdem \mathfrak{p}=\mathfrak{P}\cap A und \kappa=A/\mathfrak{p}. Die Körpererweiterung \lambda/\kappa ist galoissch. Sei G die Galoisgruppe von L/K. Sie operiert transitiv auf den über \mathfrak{p} liegenden Primidealen von B. Sei G_{\mathfrak{P}} die Zerlegungsgruppe, d.h. der Stabilisator von \mathfrak{P}. Der induzierte Homomorphismus

r: G_{\mathfrak{P}}\to\text{Gal}(\lambda/\kappa)

ist surjektiv.[2] Sein Kern ist die Trägheitsgruppe.

Es sei nun \mathfrak{P} unverzweigt, d.h. \mathfrak{p}B_{\mathfrak{P}}=\mathfrak{P}. Dann ist der Homomorphismus r ein Isomorphismus. Der Frobeniusautomorphismus \text{Frob}_{\mathfrak{P}}\in\text{Gal}(L/K) (auch Frobeniuselement) ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus \phi_{|\kappa|}\in\text{Gal}(\lambda/\kappa) unter r. Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert:

\text{Frob}_{\mathfrak{P}} b \equiv b^{|\kappa|} \mod \mathfrak{P}

Weil G auf den Primidealen über \mathfrak{p} transitiv operiert, sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen konjugiert, so dass ihre Konjugationsklasse durch \mathfrak{p} eindeutig festgelegt ist. Falls die Erweiterung L/K abelsch ist, erhält man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus \text{Frob}_{\mathfrak{p}}\in\text{Gal}(L/K).

Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung für die Klassenkörpertheorie: In der idealtheoretischen Formulierung wird die Reziprozitätsabbildung von der Zuordnung \mathfrak{p}\mapsto\text{Frob}_{\mathfrak{p}} induziert. Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes. Ferdinand Georg Frobenius hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet, deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt.[3]

Absoluter und relativer Frobenius für Schemata[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Sei p eine Primzahl und X ein Schema über \mathbb{F}_p. Der absolute Frobenius \phi_X: X\to X ist definiert als Identität auf dem topologischen Raum und p-Potenzierung auf der Strukturgarbe. Auf einem affinen Schema \text{Spec }A ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben, wie man an den globalen Schnitten ablesen kann. Dass die Primideale fest bleiben, übersetzt sich in die Äquivalenz a\in\mathfrak{p}\iff a^p\in\mathfrak{p}.

Sei nun X\to S ein Morphismus von Schemata über \mathbb{F}_p. Das Diagramm

\begin{matrix}
X & \stackrel{\phi_X}{\longrightarrow} & X \\
\downarrow & & \downarrow \\
S & \stackrel{\phi_S}{\longrightarrow} & S
\end{matrix}

kommutiert und induziert den relativen Frobeniusmorphismus

F_{X/S}: X\to X^{(p/S)}=S\times_{\phi_S,S} X

der ein Morphismus über S ist. Ist S=\text{Spec }A das Spektrum eines perfekten Rings A, dann ist \phi_S ein Isomorphismus, also X^{(p/S)}\cong X, aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus über S.

Beispiel[Bearbeiten]

  • Mit X=S[T_1,\dots,T_n] ist X^{(p)}\cong S[T_1,\dots,T_n] (über S), und der relative Frobenius ist in Koordinaten gegeben durch:
T_i\mapsto T_i^p
  • Ist B=A[T_1,\dots,T_n]/(f_1,\dots,f_m), dann ist (\text{Spec }B)^{(p/\text{Spec }A)}=A[T_1^p,\dots,T_n^p]/(\tilde f_1,\dots,\tilde f_m), wobei \tilde f bedeuten soll, dass die Koeffizienten in die p-te Potenz erhoben werden. Der relative Frobenius (\text{Spec }B)^{(p/\text{Spec }A)}\to B wird von T_i\mapsto T_i^p induziert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • F_{X/S} ist ganz, surjektiv und radiziell. Für X/S lokal von endlicher Präsentation ist F_{X/S} genau dann ein Isomorphismus, wenn X/S étale ist.[4]
  • Wenn X/S flach ist, besitzt X^{(p/S)} die folgende lokale Beschreibung: Sei \text{Spec }A eine offene affine Karte von X. Mit der symmetrischen Gruppe S_p und \textstyle N=\sum_{\sigma\in S_p}\sigma setze A^{(p)}=(A^{\otimes p})^{S_p}/N\cdot A^{\otimes p}. Die Multiplikation definiert einen Ringhomomorphismus A^{(p)}\to A, und durch Verkleben von \text{Spec }A^{(p)} erhält man das Schema X^{(p)}.[5]

Satz von Lang[Bearbeiten]

Ein Satz von Serge Lang besagt: Sei G ein algebraisches oder affines zusammenhängendes Gruppenschema über einem endlichen Körper \mathbb{F}_q. Dann ist der Morphismus

L: x\mapsto x^{-1}\cdot F_q(x)

treuflach. Ist G algebraisch und kommutativ, ist L also eine Isogenie mit Kern G(\mathbb{F}_q), die Lang-Isogenie. Ein Korollar ist, dass jeder G-Torsor trivial ist.[6]

Beispiele:

Frobenius und Verschiebung für kommutative Gruppen[Bearbeiten]

Sei S ein Schema und G/S ein flaches kommutatives Gruppenschema. Die obige Konstruktion realisiert G^{(p/S)} als Unterschema des symmetrischen Produkts G^p/S_p (falls dieses existiert, andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von G^p arbeiten), und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhält man einen kanonischen Morphismus V_{G/S}: G^{(p/S)}\to G, die Verschiebung. Der Name kommt daher, dass die Verschiebung bei Wittvektoren die Abbildung

(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,\dots)

ist.

Es gilt:[7]

  • V_{G/S}\circ F_{G/S}=p,\ \ F_{G/S}\circ V_{G/S}=p
(Multiplikation mit p in der Gruppe G bzw. G^{(p)}).
  • \text{Lie}(G/S)=\text{Lie}(\ker(F_{G/S})/S)
  • Ist G/S ein endliches flaches kommutatives Gruppenschema, dann vertauscht die Cartier-Dualität Frobenius und Verschiebung:
F_{D(G)/S}=D(V_{G/S}),\ \ V_{D(G)/S}=D(F_{G/S})

Eine endliche kommutative Gruppe G über einem Körper ist genau dann

  • vom multiplikativen Typ, wenn V ein Isomorphismus ist.
  • étale, wenn F ein Isomorphismus ist.
  • infinitesimal, wenn F^n=0: G\to G^{(p^n)}=((G^{(p)})\dots)^{(p)} für n groß.
  • unipotent, wenn V^n=0: G^{(p^n)}\to G für n groß.

Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von F und V ist der Ausgangspunkt der Dieudonné-Theorie.

Beispiele:

  • Für konstante Gruppen ist F=\text{id} und V=p.
  • Für diagonalisierbare Gruppen ist F=p und V=\text{id}.
  • Für G=\mathbb{G}_a ist F der gewöhnliche Frobeniushomomorphismus \phi_p: A\to A für Ringe A=\mathbb{G}_a(A). (Da der Frobeniusmorphismus ohne Rückgriff auf die Gruppenstruktur definiert ist, ist die Inklusion \mathbb{G}_m(A)\subseteq\mathbb{G}_a(A) mit ihm kompatibel.) Die Verschiebung ist trivial: V=0.
  • Ist X eine abelsche Varietät über einem Körper der Charakteristik p (allgemeiner ein abelsches Schema), dann ist die folgende Sequenz exakt, wenn {}_FX jeweils für den Kern des entsprechenden Morphismus F: X\to Y steht:[8]
0\to {}_{F^n} X \to {}_{p^n} X \stackrel{F^n}{\longrightarrow} {}_{V^n} X^{(p^n)} \to 0

Arithmetischer und geometrischer Frobenius[Bearbeiten]

Sei X ein Schema über k=\mathbb{F}_q, weiter \bar{k} ein algebraischer Abschluss von k und \overline{X}=X\times_{\text{Spec }k} \text{Spec }\bar{k}. Der Frobeniusautomorphismus \phi_q\in\text{Gal}(\bar{k}/k) wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt, der inverse Automorphismus \phi_q^{-1} geometrischer Frobenius. Weil \overline{X} über k definiert ist, ist \overline{X}^{(q/\bar{k})}\cong\overline{X}, und der relative Frobenius ist F_{\overline{X}/\bar{k}}=\phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}}. Es gilt (auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius)

\phi_{q,\overline{X}}=(\text{id}_X\times\phi_{q,\bar{k}})\circ(\phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}})

Ist G eine konstante Garbe auf \overline{X}_{\text{et}}, induziert \phi_{q,\overline{X}} die Identität auf der Kohomologie von G, so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius \phi_{q,X}\times\text{id}_{\bar{k}} mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente \phi_{q,X} und der geometrische Frobenius \text{id}_X\times\phi_{q,\bar{k}}^{-1} dieselbe Wirkung haben.[9]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
  •  Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 9780720420340.
  •  Pierre Gabriel: Exposé VIIA. Étude infinitesimale des schémas en groupes. In: Michel Demazure, Alexander Grothendieck (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1962-1964 (SGA 3): Schémas en groupes. Tome 1: Propriétés générales des schémas en groupes. Springer, Berlin 1970, ISBN 978-3540051800.
  •  Christian Houzel: Exposé XV. Morphisme de Frobenius et rationalité des fonctions L. In: Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois-Marie 1965-66 (SGA 5): Cohomologie l-adique et Fonctions L (= Lecture Notes in Mathematics. 589). Springer, Berlin 1977, ISBN 3-540-08248-4.

Fußnoten[Bearbeiten]

  1. V §1 Definition 2 in:  Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics. Algebra II. Chapters 4-7. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3540007067.
  2. Lang, VII §2
  3.  Peter Stevenhagen, Hendrik Lenstra: Chebotarëv and his density theorem. In: Mathematical Intelligencer. 18, Nr. 2, 1996, S. 26-37. Die Originalarbeit ist:  Georg Ferdinand Frobenius: Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1896, S. 689-703.
  4. Houzel, §1 Proposition 2
  5. Gabriel, 4.2
  6. Demazure-Gabriel, III §5, 7.2. Die Originalarbeit ist:  Serge Lang: Algebraic Groups Over Finite Fields. In: Amer. J. Math.. 78, Nr. 3, 1956, S. 555-563.
  7. Demazure-Gabriel, II §7
  8. Proposition 2.3 in:  Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 4. 2, Nr. 1, 1969, S. 63-135 (online).
  9. Houzel, §2 Proposition 2