Funktionsgraph

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Als Funktionsgraph oder kurz Graph (seltener: Funktionsgraf oder Graf) einer Funktion f bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare (x, f(x)) aus den Elementen x der Definitionsmenge und den zugehörigen Funktionswerten f(x).

Mitunter können diese Paare als Punkte in der Zeichenebene oder im Anschauungsraum interpretiert werden, sie werden auch Kurve, Kurvenverlauf oder ebenfalls Funktionsgraph genannt.

Formale Definition[Bearbeiten]

Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge A und der Zielmenge B ist die Menge[1]

G_f = \{(x, y) \in A \times B \mid y = f(x)\}.

Spezialfälle und Beispiele[Bearbeiten]

Der Graph einer Funktion f \colon D \to \R mit D \subseteq \R ist eine Teilmenge von \R \times \R = \R^2 und kann somit als Punktmenge bzw. geometrische Figur in der Ebene aufgefasst werden.

Beispielsweise gilt:

Die Graphen von Funktionen f \colon \R^2 \to \R oder f \colon \R \to \R^2 sind Teilmengen von \R^3 und können als räumliche Figuren ebenfalls noch bildlich dargestellt werden.

Bei hinreichend glatten Funktionen f \colon \R^2 \to \R ist der Graph eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Beispielsweise ergibt der Graph der Funktion f(x,y) = x^2 + y^2 ein elliptisches Paraboloid.

Verwendung in der Mathematik[Bearbeiten]

In mengentheoretischen Definitionen von Funktionen werden diese oftmals gerade als Menge der Stelle-Wert-Paare definiert, das heißt der Graph wäre nichts anderes als die Funktion selbst. Bei mathematischen Betrachtungen, die nicht direkt im Kontext der mengentheoretischen Fundierung der mathematischen Begriffe stehen, setzt man jedoch in der Regel keine Mengenstruktur einer Funktion voraus, sondern fordert lediglich die Definiertheit des Bildes zu einer gegebenen Stelle. Mengenoperationen werden dann nicht auf Funktionen ausgeführt (etwa würde \sin \cap \cos dann meist nicht als sinnvoller Ausdruck angesehen), in einigen Fällen ist es jedoch gerade praktisch eine Funktion als Menge zu betrachten mit den auf Mengen definierten Operationen und Eigenschaften; diese Betrachtung geschieht über den Graphen der Funktion. Neben der Möglichkeit, eine Funktion dadurch als geometrische Figur zu betrachten, seien hier als weitere Beispiele genannt:

Graphen im Sinne der graphischen Darstellung[Bearbeiten]

Die graphische Darstellung ist kein mathematisches Objekt. Sie dienen im Rahmen der Mathematik der Veranschauung und lassen Mutmaßungen über die Eigenschaften einer Funktion zu.

Graphen unstetiger Funktionen, Definitionslücken[Bearbeiten]

In der Darstellung der Graphen von unstetigen Funktionen oder von Funktionen mit Definitionslücken wird häufig durch \bullet angedeutet, dass ein Punkt zum Graphen gehört, und durch \circ, dass ein Punkt nicht Teil des Graphen ist. Ein Beispiel ist die Illustration der Signumfunktion.

Beispiele[Bearbeiten]

Drei Beispiele für Funktionsgraphen:

Funktion Graph Anmerkung
f(x) = \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \mbox{falls }x<0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0 \\ 1 & \mbox{falls }x>0 \end{cases}
Signumfunktion
Der Funktionswert der Signumfunktion an der Stelle 0 ist 0.
f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{falls }x=1 \\ 8 & \mbox{falls }x=2 \\ 15 & \mbox{falls }x=3 \end{cases}
Diskrete Funktion
Da der Definitionsbereich die Menge \{1,2,3\} ist, besteht der Graph nur aus den drei Punkten (1,0), (2,8) und (3,15).
f(x)=\frac{1}{x}
Kehrwertfunktion
Für x=0 ist diese Funktion nicht definiert. Deshalb gibt es auch keinen Punkt des Funktionsgraphen mit der x-Koordinate 0.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-28645-2, S. 160.
  2. J. J. Buckley, Graphs of Measurable Functions (PDF; 304 kB), Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 44, Number 1, Mai 1974