Funktionsgraph

Als Funktionsgraph, Graph (seltener: Funktionsgraf oder Graf) einer Funktion $f$ bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare $(x, f(x))$.

Mitunter können diese Paare als Punkte des Anschauungsraums interpretiert werden. Die grafische Darstellung eines Funktionsgraphen ist ein Spezialfall eines Plots; sie stellt ein technisches, nicht aber mathematisches Konzept dar. Solche Plots werden Kurve, Kurvenverlauf oder ebenfalls Funktionsgraph genannt.

Formale Definition

Der Graph einer Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $A$ und Zielmenge $B$ ist die Menge

$\Gamma_f = \{ (x,y) \in A\times B \mid y=f(x)\}\,.$

Spezialfälle und Beispiele

Der Graph einer Funktion $f \colon D \to \R$ mit $D \subseteq \R$ ist eine Teilmenge von $\R \times \R = \R^2$ und kann somit als Punktmenge bzw. geometrische Figur in der Ebene aufgefasst werden.

Beispielsweise gilt:

• Lineare Funktionen haben als Graph eine Gerade.
• Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.
• Graphen von Polynomen sind spezielle algebraische Varietäten (der Graph einer Funktion $f\colon \R^n \to \R$ ist gerade die Nullstellenmenge der Funktion $g\colon \R^{n+1} \to \R$, $g(x_1, \ldots, x_n, y):=y-f(x_1, \ldots, x_n)$, was wiederum ein Polynom ist, wenn $f$ ein Polynom ist).

Die Graphen von Funktionen $f \colon \R^2 \to \R$ oder $f \colon \R \to \R^2$ sind Teilmengen von $\R^3$ und können als räumliche Figuren ebenfalls noch bildlich dargestellt werden.

Bei hinreichend glatten Funktionen $f \colon \R^2 \to \R$ ist der Graph eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Beispielsweise ergibt der Graph der Funktion $f(x,y) = x^2 + y^2$ ein elliptisches Paraboloid.

Verwendung in der Mathematik

In mengentheoretischen Definitionen von Funktionen werden diese oftmals gerade als Menge der Stelle-Wert-Paare definiert, das heißt der Graph wäre nichts anderes als die Funktion selbst. Bei mathematischen Betrachtungen, die nicht direkt im Kontext der mengentheoretischen Fundierung der mathematischen Begriffe stehen, setzt man jedoch in der Regel keine Mengenstruktur einer Funktion voraus, sondern fordert lediglich die Definiertheit des Bildes zu einer gegebenen Stelle. Mengenoperationen werden dann nicht auf Funktionen ausgeführt (etwa würde $\sin \cap \cos$ dann meist nicht als sinnvoller Ausdruck angesehen), in einigen Fällen ist es jedoch gerade praktisch eine Funktion als Menge zu betrachten mit den auf Mengen definierten Operationen und Eigenschaften; diese Betrachtung geschieht über den Graphen der Funktion. Neben der Möglichkeit, eine Funktion dadurch als geometrische Figur zu betrachten, sei hier ein weiteres Beispiel genannt: In jedem polnischen Raum ist eine Funktion genau dann Borel-messbaren Funktion, wenn der Graph eine Borel-Menge ist.

Plots

Plots sind im Unterschied zu Funktionsgraphen im oben definierten Sinne keine mathematischen Objekte, sondern die konkreten Visualisierungen von Funktionen. Diese können im Falle reeller Funktionen nie den gesamten Informationsgehalt tragen, sind also auch nicht als formale Hilfsmittel in einem Beweis zu gebrauchen. Sie dienen im Rahmen der Mathematik lediglich der Veranschauung und lassen Mutmaßungen über die Eigenschaften einer Funktion zu.

Graphen unstetiger Funktionen, Definitionslücken

Der Funktionswert der Signumfunktion an der Stelle 0 ist 0.

In der Darstellung der Graphen von unstetigen Funktionen oder von Funktionen mit Definitionslücken wird häufig durch $\bullet$ angedeutet, dass ein Punkt zum Graphen gehört, und durch $\circ$, dass ein Punkt nicht Teil des Graphen ist. Ein Beispiel ist die Illustration der Signumfunktion.

Beispiele

Zwei Beispiele für Funktionsgraphen:

Funktion	Graph	Anmerkung
$f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{falls }x=1 \\ 8 & \mbox{falls }x=2 \\ 15 & \mbox{falls }x=3 \end{cases}$		Da der Definitionsbereich die Menge $\{1,2,3\}$ ist, besteht der Graph nur aus den drei Punkten $(1,0)$, $(2,8)$ und $(3,15)$.
$f(x)=\frac{1}{x}$	Kehrwertfunktion	Für $x=0$ ist diese Funktion nicht definiert. Deshalb gibt es auch keinen Punkt des Funktionsgraphen mit der x-Koordinate 0.