Gödelnummer

Eine Gödelnummer ist eine natürliche Zahl, die einem Wort einer formalen Sprache nach einem „durchschaubaren“ Verfahren – Gödelisierung – zugeordnet wird und dieses Wort eindeutig kennzeichnet. Alle über die Kodierung von Programmen in einer Programmiersprache definierten Aufzählungen sind Gödelnummerierungen. Die Bezeichnungen beziehen sich auf Kurt Gödel, der erstmals ein solches Verfahren angab, um seinen Unvollständigkeitssatz zu beweisen.

Formale Definition

Sei $M$ die (abzählbare) Menge der Wörter einer formalen Sprache. Eine Funktion

$g:M \to \mathbb{N}$

wird Gödelisierung genannt, wenn

• $g$ injektiv und berechenbar,
• die Bildmenge $g(M)$ entscheidbar sowie
• die auf $g(M)$ definierte Umkehrfunktion von $g$ berechenbar ist.

$g(m)$ nennt man dann die Gödelnummer von $m$.

Beispiel

Angenommen, beliebige Wörter der formalen Sprache $L$, die auf dem Alphabet $\Sigma$ basieren, sollen gödelisiert werden. Hier sei $\Sigma = \{a, b, c\}$.

Eine Möglichkeit der Kodierung wäre, den Buchstaben zunächst einfach fortlaufende Nummern zuzuweisen. Ein „a“ entspräche der 1, ein „b“ der 2 und ein „c“ der 3. Nun kann man gödelisieren, indem man die dem Buchstaben entsprechenden Potenzen der fortlaufenden Primzahlen $2,3,5,7,\ldots$ miteinander multipliziert:

Das Wort „abccba“

• Das „a“ an erster Stelle hat den Wert $2^1 = 2$
• Das „b“ an zweiter Stelle hat den Wert $3^2 = 9$
• Das „c“ an dritter Stelle hat den Wert $5^3 = 125$
• Das „c“ an vierter Stelle hat den Wert $7^3 = 343$
• Das „b“ an fünfter Stelle hat den Wert $11^2 = 121$
• Das „a“ an sechster Stelle hat den Wert $13^1 = 13$

Die Gödelnummer für „abccba“ in dieser Kodierung lautet also $2\cdot9\cdot 125\cdot 343\cdot 121\cdot 13 = 1\,213\,962\,750$

Da es unendlich viele Primzahlen gibt, kann man auf diese Weise tatsächlich beliebig lange Wörter kodieren und aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung lässt sich etwa aus der Zahl 1213962750 wieder das Wort „abccba“ rekonstruieren. Es gibt zwar Zahlen, die keinem Wort der Sprache entsprechen, beispielsweise $3=2^0\cdot 3^1$ (kein erster Buchstabe) oder $16 = 2^4$ (Alphabet $\Sigma$ hat kein viertes Element). Aber zumindest lassen sich diese ungültigen Werte auf berechenbare Weise von den gültigen unterscheiden.

Neben der hier gezeigten gibt es natürlich noch andere Methoden, eine Gödelisierung durchzuführen.

Eine im Buch Gödel, Escher, Bach beschriebene Methode verwendet beispielsweise ein Stellenwertsystem mit der Basis 1000, was zwar sehr anschaulich ist, aber formal schwieriger zu handhaben ist als eine Methode, die wie die obige auf Primzahlpotenzen beruht.

Gödelisierung von zahlentheoretischen Aussagen

Aussagen der Zahlentheorie (oder auch anderer mathematischer Theorien) lassen sich mit Hilfe eines endlichen Alphabets formulieren, dessen „Buchstaben“ neben Zeichen für Variablen auch gewisse mathematische und logische Symbole (etwa $+$, $\cdot$, $=$, $\and$, $\Rightarrow$, $\forall$) umfasst. (Die abzählbar unendlich vielen Variablen können als besonders gekennzeichnete Wörter des endlichen Alphabets dargestellt werden.)

Auf diese Weise lassen sich also zahlentheoretische Aussagen (und sogar Beweise) in Zahlen übersetzen. Als Folge hiervon kann die Zahlentheorie, die ja Aussagen über Zahlen behandeln soll, auch Aussagen über zahlentheoretische Aussagen und Beweise behandeln. Diese Tatsache ist der Punkt, an dem Gödels Unvollständigkeitssatz ansetzt.

Gödelisierung von Turingmaschinen

Eine bekannte Anwendung der Gödelnummer ist die Codierung einer Turingmaschine durch ein Binärwort $w$. Auf diese Weise wird jeder Turingmaschine eine Zahl zugeordnet (d. h. die Menge aller Turingmaschinen ist abzählbar). Diese Tatsache wird unter Anderem im Halteproblem ausgenutzt.

Beispiel

Natürlich lassen sich verschiedenste Konventionen für die Nummerierung vereinbaren. Im Folgenden soll der Vorgang an einem einfachen Beispiel gezeigt werden. Sei

$M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, \square, F)$

eine Turingmaschine. Seien o. B. d. A. die Zustandsmenge $Q$, sowie das Bandalphabet $\Gamma$ durchnummeriert.

$Q = \{q_0, q_1, \ldots, q_k\}, \Gamma= \{a_0, a_1, \ldots, a_l\}, k,l \in \mathbb{N}$

Wir codieren nun vorerst jeden Übergang $\delta(q_m, a_n) = (q_m', a_n', \{L,N,R\})$ mit einem Wort über dem Alphabet $\{0,1,\#\}$. Zustände bzw. Terminalsymbole werden durch die Binärdarstellung ihrer Indizes dargestellt, die einzelnen Elemente werden mit $\#$ getrennt.

$\delta(q_m, a_n) = (q_m', a_n', \{L,N,R\}) \mapsto \#\#\operatorname{bin}(m)\#\operatorname{bin}(n)\#\operatorname{bin}(m')\#\operatorname{bin}(n')\#\operatorname{bin}(b)$

wobei $b$ die Kopfbewegung darstellt ($L = 0, N = 1, R = 2$). Um uns auf das zweistellige Alphabet $\{0,1\}$ beschränken zu können, führen wir eine Abbildung der Menge $\{0,1,\#\}$ auf $\{0,1\}$ ein:

$0 \mapsto 00, 1 \mapsto 01, \# \mapsto 10$.

Die Turingmaschine mit der einzigen Produktion $\delta(q_0, 0) \mapsto (q_0, 0, N)$ wird so zu $1010001000100010001001_2 = 2656393_{10}$.

Eine Alternative, die auf das Trennzeichen verzichtet, nutzt die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung aus, um Tupel in einer Zahl codieren zu können.

Siehe auch

• Church-Turing-These
• Gödelscher Unvollständigkeitssatz
• Turingmaschine
• Halteproblem