Galerkin-Methode

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Die Galerkin-Methode (auch Galerkin-Ansatz, nach Boris Galerkin) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Operatorgleichungen, wie beispielsweise partiellen Differentialgleichungen. Sie stellt die gebräuchlichste Variante der „Methode der gewichteten Residuen“ dar, bei der das resultierende Residuum einer Näherungslösung minimiert wird.

Kurzfassung[Bearbeiten]

Rayleigh und Walther Ritz haben die in Variationsproblemen gesuchte Funktion als Linearkombination von Basisfunktionen angesetzt und damit das Variationsproblem auf ein gewöhnliches Problem der Optimierung einer Funktion von Parametern zurückgeführt.[1]

Für die Lösung einer Operatorgleichung

T\left(f(x)\right)=0

kann die gesuchte Funktion ebenso angesetzt werden, etwa als

 f\left(x\right)=\sum_{i}c_{i}\Phi_{i}\left(x\right),

was substituiert in die Operatorgleichung auf der linken Seite des Gleichheitszeichens eine von den Koeffizienten c_{i} abhängige Funktion ergibt. Nach der Methode der gewichteten Residuen wählt man die freien Koeffizienten c_{i} so, dass diese Funktion im Raum, der von gewissen Basisfunktionen \Psi_{j}(x) aufgespannt wird, verschwindet, d. h. orthogonal zu diesen Basisfunktionen wird. Damit erhält man folgende Gleichungen zur Bestimmung der c_{i}

\int\Psi_{j}(x)T\left(\sum_{i}c_{i}\Phi_{i}(x)\right)dx=0,

die, falls der Operator linear ist, ein lineares Gleichungssystem darstellen. Für \Psi_{j}(x)=\delta(x-x_{j}) erhält man ein Punkt-Kollokationsverfahren, für \Psi_{j}(x)=\Phi_{j}(x) das Galerkin-Verfahren, das in russischen Büchern auch Iwan Grigorjewitsch Bubnow zugeschrieben wird, dort also Bubnov-Galerkin-Verfahren heißt.[2]

Detailliertere Darstellung[Bearbeiten]

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Vorgehensweise[Bearbeiten]

Das Residuum ist in dem betrachteten Gebiet verteilt. Es wird mit geeigneten Wichtungsfunktionen gewichtet, daher der Ausdruck "gewichtete Residuen". Das Integral des über dem Gebiet gewichteten Residuums soll möglichst klein sein oder besser noch ganz verschwinden. Die Wichtungsfunktionen haben Parameter, deren Anzahl der Zahl der Freiheitsgrade des Systems entspricht. Diese führen zu genauso vielen Gleichungen und damit zu dem gleichen großen Gleichungssystem, das aus der Finite-Elemente-Methode bekannt ist. Bei der Galerkin-Methode sind die Wichtungsfunktionen identisch mit den Ansatzfunktionen in den Elementen.

Beispiel[Bearbeiten]

Sei D ein Differentialoperator. Gesucht ist die Lösung u(x) der Differentialgleichung

D(u)(x) + f(x)= 0 (Gleichung 1)

mit einer vorgegebenen Funktion f(x) und zusätzlich Randbedingungen für u. Dazu wird eine Näherungslösung v für u angesetzt als Linearkombination von Basisfunktionen \Phi_i (x) aus einem Funktionenraum V:

 v (x)= \sum_{i=1}^N c_i \Phi_i (x)

mit noch zu bestimmenden Koeffizienten c_i. Die Funktion v erfüllt im Allgemeinen noch nicht die Differentialgleichung (1), es bleibt ein Residuum

r(x)=D(v)(x) + f(x).

In dem Raum V sei ein inneres Produkt \langle h,g \rangle definiert, für das gilt, dass g=0 ist, falls \langle h,g \rangle=0 für alle Funktionen h aus V ist. Das innere Produkt ist häufig definiert als

\langle h,g \rangle = \int h(x) g(x) dx.

Häufig kann man nicht die exakte Lösung bestimmen, für die \langle w, r\rangle für jede Testfunktion w verschwindet (und damit das Residuum auch), sondern nur eine Näherungslösung, für die das innere Produkt des Residuums mit einer Menge ausgewählter linear unabhängiger „Gewichtsfunktionen“ w verschwindet:

\langle w, r \rangle =0.

Beim Galerkin-Verfahren werden als Gewichtsfunktionen gerade die Basisfunktionen \Phi_j, j=1,\dots, N von V gewählt, so dass sich ein Gleichungssystem für die Koeffizienten c_i ergibt.

\left\langle \Phi_j, D \left( \sum_{i=1}^N c_i \Phi_i \right) + f \right\rangle = 0.

Anwendungsgebiet[Bearbeiten]

Die Galerkin-Methode ist anwendbar, wenn kein natürliches Extremalprinzip für die Lösung der Differentialgleichung existiert. Sie ist somit eine Grundlage der Finite-Elemente-Methode und dehnt deren Anwendbarkeit auf weitere physikalische Problemstellungen (Kontinuumsprobleme) aus, die ein solches natürliches Extremalprinzip nicht besitzen. Beispiele dafür sind stationäre oder instationäre Strömungen. Ein natürliches Extremalprinzip (natürliches Variationsprinzip) existiert dagegen z. B. bei mechanischen Problemen der Festkörpermechanik, bei denen der Energieinhalt ein Minimum haben muss.

Nach Zienkiewicz ist die Galerkin-Lösung identisch mit einer natürlichen Variationslösung oder lässt sich zumindest so interpretieren. Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein spezielles Ritz-Galerkin-Verfahren.

Weiterführende Literatur[Bearbeiten]

  • O. C. Zienkiewicz: Methode der Finiten Elemente. (The Finite Element Method) 1977.
  • J.N. Reddy: Energy Principles And Variational Methods In Applied Mechanics. Second Edition, John Wiley & Sons 2002, ISBN 978-0-471-17985-6.
  • H. R. Schwarz: Methode der Finiten Elemente. Stuttgart 1984.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Zienkiewicz: The Finite Element Method, 4. Aufl., Vol. 1, S. 35
  2. Zienkiewicz: The Finite Element Method, 4. Aufl., Vol. 1, S. 215