Ganzheit (kommutative Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist Ganzheit eine leichte Abwandlung des Begriffes eines algebraischen Elementes, die aber wesentlich andere Eigenschaften bewirkt.

Definition

Es sei $A$ ein Ring und $B$ eine $A$-Algebra. Dann heißt ein Element $b\in B$ ganz über $A$, wenn es ein normiertes Polynom

$p=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\ldots+c_1X+c_0\in A[X]$

gibt, so dass

$p(b) = b^n + c_{n-1}b^{n-1} + \ldots + c_1b + c_0 = 0$

gilt.

$B$ heißt ganz über $A$, wenn jedes Element von $B$ ganz über $A$ ist. Ist insbesondere $A\subseteq B$, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.

Für eine beliebige $A$-Algebra $B$ heißt die Menge der über $A$ ganzen Elemente von $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $B$.

Eigenschaften

• Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist eine $A$-Unteralgebra von $B$.

• Eine $A$-Algebra $B$ ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.

Beispiele

• Ist $A=\mathbb Z$ und $B=\mathbb Q\big(\sqrt5\big)$, so ist der ganze Abschluss von $A$ in $B$ gleich

$\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].$

• Siehe Ganzheitsring