Ganzheit (kommutative Algebra)

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Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist Ganzheit eine leichte Abwandlung des Begriffes eines algebraischen Elementes, die aber wesentlich andere Eigenschaften bewirkt.

[Bearbeiten] Definition

Es sei $A$ ein Ring und $B$ eine $A$ -Algebra. Dann heißt ein Element $b\in B$ ganz über $A$ , wenn es ein normiertes Polynom

$p=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\ldots+c_1X+c_0\in A[X]$

gibt, so dass

$p(b) = b^n + c_{n-1}b^{n-1} + \ldots + c_1b + c_0 = 0$

gilt.

$B$ heißt ganz über $A$ , wenn jedes Element von $B$ ganz über $A$ ist. Ist insbesondere $A\subseteq B$ , so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.