Ganzheitsring

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Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen.

[Bearbeiten] Definition

Es sei K ein algebraischer Zahlkörper, d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring von K definiert als der ganze Abschluss von in K, d.h. die Teilmenge derjenigen , die eine Gleichung der Form

mit erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von xⁿ gleich 1 sein muss.

Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf K.

[Bearbeiten] Eigenschaften

• ist ein Dedekindring.

[Bearbeiten] Beispiele

• Ist , so ist der Ring der Eisenstein-Zahlen

mit

Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms

X² − (2u − v)X + (u² − uv + v²).

Erfüllt umgekehrt die Polynomgleichung

x² + px + q = 0 mit

so folgt p = − 2a und q = a² + 3b². Man kann zeigen, dass daraus folgt, dass a + b und 2b ganzzahlig sind, also ist

eine Eisenstein-Zahl.

• Ist , so ist der Ring der ganzen gaußschen Zahlen .

• Allgemein sieht für den Ganzheitsring von (wobei d ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:

falls d kongruent 2 oder 3 mod 4

falls d kongruent 1 mod 4

• Bezeichnet ζ eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist der Ganzheitsring des n-ten Kreisteilungskörpers gleich .