Ganzheitsring

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Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Körper aller algebraischen Zahlen.

Definition[Bearbeiten]

Es sei K ein algebraischer Zahlkörper, d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring \mathcal O_K von K definiert als der ganze Abschluss von \mathbb Z in K, d.h. die Teilmenge derjenigen x\in K, die eine Gleichung der Form

x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0 = 0

mit c_i\in\mathbb Z erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von x^n (der Leitkoeffizient des Polynoms x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0 ) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet solche Polynome als normiert. Ohne diese Einschränkungen bekäme man den ganzen Körper K.

Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf K.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten]

u + v\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2 mit u,v\in\mathbb Z.
Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms
X^2 - (2u - v)X + (u^2 - uv + v^2).
Erfüllt umgekehrt x=a+b\mathrm i\sqrt3\in K die Polynomgleichung
x^2+px+q=0 mit p,q\in\mathbb Z,
so folgt p=-2a und q=a^2+3b^2. Man kann zeigen, dass dann a+b und 2b ganzzahlig sind, also ist
x = (a+b) + 2b\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2
eine Eisenstein-Zahl.
  • Allgemein sieht für den Ganzheitsring von \mathbb Q(\sqrt{d}) (wobei d ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:
\{1,\sqrt{d} \} falls d kongruent 2 oder 3 mod 4
\{1, \frac{1+\sqrt{d}}2 \} falls d kongruent 1 mod 4
x := x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k
mit rationalen Zahlen x_0 \, , x_1 \, , x_2 \, , x_3 \, , so ist \mathcal O_K der Ring der Hurwitzquaternionen
H = \left\{x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k \in K \mid x_0,x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{Z} \;\mbox{ oder }\, x_0,x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{Z} + \tfrac{1}{2}\right\}.

Siehe auch[Bearbeiten]