Gauß-Abbildung

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In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum \R^3 auf die Einheitssphäre S^2 ab.

Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827.

Definition[Bearbeiten]

Die Gauß-Abbildung verschiebt die Einheitsnormalen eines Flächenstücks an den festen Ursprung des umgebenden Raums.

Auf einer gegebenen orientierte Fläche X, die im \R^3 liegt, ist die Gauß-Abbildung eine stetige Abbildung N \colon X \to S^2, so dass N(p) ein zur Fläche X orthonormaler Einheitsvektor bei p \in X, nämlich der Normalenvektor an X bei p, ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Gauß-Abbildung kann global, also für alle p \in X, nur genau dann definiert werden, wenn die Fläche orientierbar ist. Lokal, das heißt auf einem kleinen Stück der Oberfläche, kann sie immer definiert werden. Die Funktionaldeterminante der Gauß-Abbildung ist gleich der Gauß-Krümmung, und das Differential der Gauß-Abbildung wird Weingartenabbildung oder auch Form-Operator genannt.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Analog zu obiger Definition kann die Gauß-Abbildung für n-dimensionale orientierte Hyperflächen im \R^{n+1} definiert werden.

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8, S. 129.