Gaußsche Krümmung

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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (\mathbb{R}^3), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß), benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben seien eine reguläre Fläche im \mathbb{R}^3 und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung K der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen k_1 und k_2.

K \, = \, k_1 \cdot k_2 = \frac{1}{r_1} \cdot \frac{1}{r_2}

Dabei sind r_1 und r_2 die beiden Hauptkrümmungsradien.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r ist die gaußsche Krümmung gegeben durch K = 1 /r^2.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiskegels ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
  • Ist X = X(u,v) = (u,v,f(u,v)) ein Graph über der (u,v)−Ebene, so berechnet sich die gaußsche Krümmung durch die Formel
K = \frac{f_{uu} f_{vv} - f_{uv}^2}{{(1+f_u^2+f_v^2)}^{2}},

wobei die Indizes partielle Ableitungen bezeichnen.

Totalkrümmung[Bearbeiten]

Die Innenwinkelsumme eines Flächendreiecks auf einer negativ gekrümmten Fläche ist kleiner als 180°.

Das Oberflächenintegral der Gaußschen Krümmung über einige Regionen einer Fläche bezeichnet man als "Totalkrümmung". Die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks entspricht der Abweichung der Summe seiner Winkel von π. Die Innenwinkelsumme eines sich auf einer positiv gekrümmten Fläche befindenden Dreiecks wird π überschreiten, wo hingegen auf einer negativ gekrümmten Fläche die Innenwinkelsumme unterhalb von π liegen wird. Beträgt die Gaußkrümmung null , liegt das Dreieck in einer Ebene und hat somit eine Innenwinkelsumme von exakt π.

\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.

Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes findet sich im Satz von Gauß-Bonnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (K > 0), in hyperbolischen Punkten negativ (K < 0) und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie.
K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}
  • Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der:
  • Formel von Brioschi:
K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left(
\begin{vmatrix}
-\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\
F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\
\frac{1}{2}G_v & F & G
\end{vmatrix}
- \begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\
\frac{1}{2}E_v & E & F\\
\frac{1}{2}G_u & F & G
\end{vmatrix}
\right)
Dabei sind E, F und G die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen E_u, F_{uv} usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern u und v, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.
  • Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:
K = -\frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}}\left(
\left(\frac{E_v-F_u}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_v
+\left(\frac{G_u-F_v}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_u\right)
-\frac{1}{4 \left(EG-F^2\right)^2}\begin{vmatrix}
 E & E_u & E_v \\
 F & F_u & F_v \\
 G & G_u & G_v
\end{vmatrix}
  • Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung (F=0) reduziert sich diese Formel auf
K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(
\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)_v
+\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)_u
\right)
  • Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt 0<E=G und F=0, dann schreibt sich
 K = -\frac{1}{2E} \Delta \log E
mit dem Laplaceoperator
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}.

 K=\frac{{\nabla f}^T\cdot\operatorname{adj}(H_f)\cdot\nabla f}{|\nabla f|^4}.
Dabei ist |\nabla f| der Betrag des Gradienten und \operatorname{adj}(H_f) die Adjunkte der Hesse-Matrix von f.

Literatur[Bearbeiten]

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Michael Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry. 3. Auflage. Volume 3, Publish or Perish, Houston, Texas 1999, ISBN 0-914098-72-1, Chapter 3. A compendium of surfaces, LCCN 2002-283516.