Gaußscher Integralsatz

Der gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski oder Divergenzsatz, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche her.

Der nach Gauß benannte Integralsatz folgt als Spezialfall aus dem Satz von Stokes, der auch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert.

Formulierung des Satzes

Im Dreidimensionalen ist ein Gebiet V dargestellt, das von der geschlossenen Fläche S=∂V berandet wird, orientiert durch den äußeren Flächennormalvektor n.

Es sei $V \subset \mathbb{R}^n$ eine kompakte Menge mit abschnittsweise glattem Rand $S = \partial V$, der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normaleneinheitsfeld $\vec n$. Ferner sei das Vektorfeld $\vec F$ stetig differenzierbar auf einer offenen Menge $U$ mit $V \subseteq U$. Dann gilt

$\int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm d^{(n)}V = \oint_{S} \vec F \cdot \vec n\; \mathrm d^{(n-1)}S\,.$

Beispiel

Ist $V := \{\vec x \in \R^3 \colon \| \vec x\|_2 \leq 1 \}$ die abgeschlossene Einheitskugel im $\R^3$, dann gilt $S = \partial V = \{\vec x \in \R^3 \colon \| \vec x\|_2 = 1 \}$ sowie $\vec n(\vec x) = \vec x$.

Für das Vektorfeld $\vec F \colon \R^3 \to \R^3$ mit $\vec F(\vec x) = \vec x$ gilt $\operatorname{div} \vec F(\vec x) = 3$.

Es folgt

$\int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm d^{3}V = \int_V 3 \; \mathrm d^3V = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4 \pi$

sowie

$\oint_{S} \vec F \cdot \vec n\; \mathrm d^{2}S = \oint_{S} \vec x \cdot \vec x \; \mathrm d^2S = \oint_{S} 1 \; \mathrm d^2 S = 4 \pi\,.$

Bei der Rechnung wurde verwendet, dass $\vec x \cdot \vec x = \|\vec x\|_2^2 = 1$ für alle $\vec x \in S$ gilt und dass die Einheitskugel das Volumen $\tfrac{4}{3}\pi$ und die Oberfläche $4 \pi$ hat.

Folgerungen

Aus dem gaußschen Integralsatz können weitere Identitäten hergeleitet werden. Zur Vereinfachung wird die folgende Notation verwendet: $\mathrm d\vec S:=\vec n\;\mathrm d^{(n-1)}S$ und $\mathrm d V := d^{(n)} V$.

• Wendet man den gaußschen Integralsatz und die Kettenregel auf das Produkt einer skalaren Funktion g mit einem Vektorfeld $\vec F$ an, dann erhält man

$\int_V\left(\vec{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \vec{F}\right)\right) \mathrm dV =\int_V\nabla\cdot\left(\vec{F} g\right) \mathrm dV = \oint_{S}g \vec{F} \cdot \mathrm d\vec{S}$

Setzt man nun $\vec{F}=\nabla f$, dann erhält man die Greenschen Formeln.

• Wendet man den gaußschen Integralsatz auf das Kreuzprodukt zweier Vektorfelder $\vec{F}\times \vec{G}$ an, dann erhält man

$\int_V \left(\vec{G}\cdot\left(\nabla\times\vec{F}\right) - \vec{F}\cdot \left( \nabla\times\vec{G}\right)\right)\, \mathrm dV = \oint_{S}\left(\vec{F}\times\vec{G}\right)\cdot \mathrm d\vec{S}$

Betrachtet man den Spezialfall, dass es sich bei $\vec G$ um einen beliebigen konstanten Vektor handelt, erhält man

$\int_V \nabla\times\vec{F}\, \mathrm dV = \oint_{S} \vec{n} \times \vec{F}\, \mathrm {d}^{n-1}S\,.$

Diese wird alternativ auch mittels

$\int_V \nabla\times\vec{F}\, \mathrm dV = \oint_{S} \mathrm d\vec{S} \times\vec{F}$

notiert.

• Wendet man den gaußschen Integralsatz auf die Ableitung einer reellen Funktion f auf dem Intervall $[a,b]$ an, erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, anders gesagt ist das Analogon zur Auswertung des Integrals an den Intervallenden im Hauptsatz die Auswertung der Randintegrale im Divergenzsatz:

$\int_a^b \partial f \, \mathrm dV = \oint_{\partial[a,b]} f \cdot \mathrm \, d\vec{S} = f(b)-f(a).$

• Das Volumenintegral über den Gradienten einer skalaren Funktion $f \colon V \to \R$ ist gleich dem Oberflächenintegral über den Rand dieses Volumens, das heißt in vektorieller Notation gilt

$\int_V\operatorname{grad}\,f(\vec x)\mathrm{d}V = \oint_{S} f\,\mathrm d\vec S \,.$

Schreibt man die Komponenten einzeln hin, so erhält man

$\int_V \frac{\partial f}{\partial x_i} \,\mathrm dV = \oint_{S} f n_i \,\mathrm d^{n-1}S\,.$

Anwendungen

Flüssigkeiten, Gase, Elektrodynamik

Der Satz wird genutzt zur Beschreibung der Erhaltung von Masse, Impuls und Energie in einem beliebigen Volumen: Das Integral der Quellenverteilung (Summe der Divergenz eines Vektorfeldes) über das Volumen im Innern einer Hülle multipliziert mit einer Konstanten ergibt den gesamten Durchfluss (das Hüllenintegral) der gesamten Strömung durch die Hülle dieses Volumens.

Gravitation

Im Gravitationsfeld erhält man: Das Oberflächenintegral ist -4πG mal die Masse innen, solange die Masse darin radialsymmetrisch verteilt ist (konstante Dichte bei gegebener Entfernung vom Mittelpunkt) und unabhängig von irgendwelchen (ebenfalls radialsymmetrisch verteilten) Massen außerhalb. Insbesondere gilt: Die ganze Sphäre außerhalb einer Kugel hat keinen (zusätzlichen) Einfluss, sofern ihre Masse radialsymmetrisch verteilt ist. Allein die Summe der Quellen und Senken im Innengebiet wirken (→ siehe Newtonsches Schalentheorem).

Partielle Integration im Mehrdimensionalen

Der Gaußsche Integralsatz führt auf eine Formel zur partiellen Integration im Mehrdimensionalen

$\int_\Omega \varphi\, \operatorname{div}\, \vec v \; \mathrm d V = \int_{\partial \Omega} \varphi\, \vec v \cdot \mathrm d \vec S - \int_\Omega \vec v\cdot \operatorname{grad}\, \varphi \; \mathrm dV$.

Bedeutung

Der gaußsche Integralsatz findet in vielen Bereichen der Physik Anwendung, vor allem auch in der Elektrodynamik und der Fluiddynamik.

Im letzteren Fall wird die Bedeutung des Satzes besonders anschaulich. Nehmen wir an, das Vektorfeld $\vec F$ beschreibt fließendes Wasser in einem gewissen Raumbereich. Dann beschreibt die Divergenz von $\vec F$ gerade die Stärke von allen Quellen und Senken in einzelnen Punkten. Möchte man nun wissen, wie viel Wasser aus einem bestimmten Bereich $V$ insgesamt herausfließt, so ist intuitiv klar, dass man folgende zwei Möglichkeiten hat:

• Man untersucht bzw. misst, wie viel Wasser durch die Oberfläche von $V$ aus- und eintritt. Dies entspricht dem Durchfluss von senkrechten Komponenten auf der Oberfläche als Oberflächenintegral.
• Man bilanziert (misst) im Innern des dadurch begrenzten Volumens, wie viel Wasser insgesamt innerhalb von $V$ in Senken (Löchern) verschwindet und wie viel aus Quellen (Wasserzuflüssen) hinzukommt. Man addiert also die Effekte von Quellen und Senken. Dies wird alternativ und gleichwertig dann durch das Volumenintegral über die Divergenz realisiert.

Der gaußsche Integralsatz besagt, dass tatsächlich beide Möglichkeiten stets absolut gleichwertig zum Ziel führen. Er hat damit auch den Charakter eines Erhaltungssatzes der Energie.

Geschichte

Der Satz wurde wahrscheinlich zum ersten Mal von Joseph Louis Lagrange im Jahre 1762 formuliert und unabhängig davon später von Carl Friedrich Gauß (1813), George Green (1825) und Michail Ostrogradski (1831) neu entdeckt. Ostrogradski lieferte auch den ersten formalen Beweis.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
• Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004.