Gebrochene Brownsche Bewegung

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Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen (X^H(t))_{t \geq 0}, welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

E[X^H(t) X^H(s)]=\frac{1}{2} (|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Selbstähnlichkeit[Bearbeiten]

X^H ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse (X^H(ct))_{t \geq 0} und (c^H X^H(t))_{t \geq 0} für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente[Bearbeiten]

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

E[(X^H(t) - X^H(s))^2] = |t-s|^{2H}, \quad t,s \geq 0.

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

  • falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
  • falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
  • falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften[Bearbeiten]

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index \alpha für jedes \alpha < H.

Stochastische Integration[Bearbeiten]

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  •  Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion. Springer, London 2010, ISBN 1849969949 (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008).