Gell-Mann-Matrizen

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Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als T_i mit i = 1,\dotsc,8 schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

\left[T_a,T_b\right]={i}\,f^{abc}\,T_c

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die f^{abc} werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:


f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=\frac{1}{2},~f^{156}=f^{367}=-\frac{1}{2},~f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

T_a=\frac{1}{2}\lambda_a

Sie sind als 3x3-Matrizen gewählt und haben die Form:

\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} .

Bei der SU(2) hat man anstelle der acht \lambda-Matrizen die drei Pauli-Matrizen.

Die \lambda-Matrizen haben folgende Eigenschaften:

  • Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte
  • „spurlos“, d.h. \,\mathrm{tr}(\lambda_i)=0
  • und „orthogonal“ in folgendem Sinne: \,\mathrm{tr}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}

Anwendung finden sie z.B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3x3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]