Gemischte Poisson-Verteilung

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Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden ist. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition[Bearbeiten]

Eine Zufallsvariable X genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte \pi(\lambda), wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

\operatorname{P}(X=k) = p_\pi(k) = \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit  q_\lambda(k)\, bezeichnen, gilt folglich

\operatorname{P}(X=k) = p_\pi(k) = \int\limits_{0}^{\infty} q_\lambda(k) \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Im Folgenden sei \mu_\pi=\int\limits_{0}^{\infty} \lambda \,\,\pi(\lambda)d\lambda\, der Erwartungswert der Dichte \pi(\lambda)\,, und \sigma_\pi^2 = \int\limits_{0}^{\infty} (\lambda-\mu_\pi)^2 \,\,\pi(\lambda)d\lambda\, die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu

\operatorname{E}(X)   = \mu_\pi.

Varianz[Bearbeiten]

Für die Varianz erhält man

\operatorname{Var}(X)  = \mu_\pi+\sigma_\pi^2.

Standardabweichung[Bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

\sigma      = \sqrt{\mu_\pi+\sigma_\pi^2}.

Variationskoeffizient[Bearbeiten]

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

\operatorname{VarK}(X)    = \sqrt{\frac{\mu_\pi+\sigma_\pi^2}{\mu_\pi^2}}.

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe lässt sich darstellen als

\operatorname{v}(X) = \Bigl(\mu_\pi+\sigma_\pi^2\Bigr)^{-\frac{3}{2}} \,\Biggl[\int\limits_0^\infty(\lambda-\mu_\pi)^3\,\pi(\lambda)\,d{\lambda}+\mu_\pi\Biggr].

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion hat die Form

\varphi_{X}(s)    = M_\pi(e^{is}-1)\,.

Dabei ist  M_\pi die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion[Bearbeiten]

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

m_{X}(s)       = M_\pi(s-1)\,.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

M_{X}(s)       = M_\pi(e^s-1)\,.

Literatur[Bearbeiten]