Geodätischer metrischer Raum

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Der geodätische metrische Raum ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt Räume, in denen man zu je zwei Punkten eine kürzeste Verbindungskurve finden kann. Der Begriff verallgemeinert das Konzept der vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf allgemeine metrische Räume. In der Literatur finden sich auch die Bezeichnungen Längenraum oder innerer metrischer Raum.

Geodäten in metrischen Räumen[Bearbeiten]

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Kurve ist eine stetige Abbildung \gamma:\left[a,b\right]\rightarrow X, wobei \left[a,b\right] ein abgeschlossenes Intervall im \mathbb R^1 ist. Die Länge der Kurve \gamma:\left[a,b\right]\rightarrow X ist definiert als

L(\gamma) = \sup \left\{ \left. \sum_{i = 1}^{r} d \big( \gamma(t_{i-1}), \gamma(t_{i}) \big) \right| a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{r} = b, r\in \mathbb{N} \right\}.

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Ungleichung L(\gamma)\ge d(\gamma(a),\gamma(b)). Die Kurve \gamma:\left[a,b\right]\rightarrow X heißt minimierende Geodäte, wenn Gleichheit

L(\gamma)= d(\gamma(a),\gamma(b))

gilt.

Definition[Bearbeiten]

Ein metrischer Raum (X,d) heißt geodätisch, wenn es zu je zwei Punkten x,y\in X eine minimierende Geodäte \gamma:\left[a,b\right]\rightarrow X mit

\gamma(a)=x, \gamma(b)=y

gibt.

Satz von Hopf-Rinow[Bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Hopf-Rinow

Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g) definiert man eine Metrik d:M\times M\rightarrow \mathbb R durch

d(x,y):=\inf\{L(\gamma)\mid\gamma\colon[0,1]\to M,\gamma(0)=x, \gamma(1)=y\}

für x,y\in M. Dabei durchläuft \gamma alle stückweise differenzierbaren Kurven, die x und y verbinden, und L(\gamma) bezeichnet die Riemannsche Länge von \gamma, die gemäß

L(\gamma)=\int_0^1 \!\sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t),\dot \gamma(t))} \,\mathrm dt

definiert ist. Damit wird die Riemannsche Mannigfaltigkeit zu einem metrischen Raum (M,d).

Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt:

  • (M,d) ist ein geodätischer metrischer Raum

genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Gegenbeispiel[Bearbeiten]

Sei

X=\mathbb C^*=\mathbb C-\left\{0\right\}

die punktierte komplexe Ebene mit der Metrik

d(x,y)= |x-y|

für x,y\in X.

Dann ist zum Beispiel d(1,-1)=2 oder d(i,-i)=2, in beiden Fällen lassen sich die Punktepaare aber nicht durch Kurven der Länge 2 verbinden.

Literatur[Bearbeiten]

Bridson-Haefliger: Metric spaces of nonpositive curvature (PDF; 37,4 MB)