Geometrische brownsche Bewegung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Drei (abhängige) geometrische brownsche Bewegungen mit Drift μ=0,8 und Volatilität σ=0,4 (blau), σ=0,25 (rot) und σ=0,1 (gelb)

Die geometrische brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich vom Wiener-Prozess (auch brownsche Bewegung genannt) ableitet. Sie findet vor allem in der Finanzmathematik Verwendung.

Definition[Bearbeiten]

Sei W_t eine Standard-brownsche-Bewegung, d. h. ein Wiener-Prozess. So ist

S_t = a \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t \right]

eine geometrische brownsche Bewegung.

Herleitung[Bearbeiten]

Drei unabhängige geometrische brownsche Bewegungen mit Volatilität 0,2 und Drift 0,7 (grün), 0,2 (blau) und -0,7 (rot)

Die geometrische brownsche Bewegung ist die Lösung der stochastischen Differentialgleichung

\mathrm{d}S_t = \mu S_t \, \mathrm{d}t + \sigma S_t \,\mathrm{d}W_t, \quad t\ge0, \quad S_0=a

Der Parameter \mu heißt dabei Drift und beschreibt die deterministische Tendenz des Prozesses. Ist  \mu > 0, so wächst der Wert von S in Erwartung, ist er negativ, fällt S tendenziell. Für  \mu = 0 ist S ein Martingal.

Der Parameter \sigma beschreibt die Volatilität und steuert den Einfluss des Zufalls auf den Prozess S. Ist  \sigma = 0, so verschwindet der Diffusionsterm in der obigen Differentialgleichung, übrig bleibt die gewöhnliche Differentialgleichung

\mathrm{d}S(t)=\mu \, S(t) \, \mathrm{d}t, \; S(0)=a,

die die Exponentialfunktion  S(t)=a e^{\mu t} als Lösung besitzt. Deshalb kann man die geometrische brownsche Bewegung als stochastisches Pendant zur Exponentialfunktion auffassen.

Die stochastische Differentialgleichung der geometrischen brownschen Bewegung kann mit dem Exponentialansatz S_t = e^{X_t} gelöst werden. Mit Hilfe der Itō-Formel ergibt sich für X_t = \log(S_t):

\mathrm{d}X_t = \frac{1}{S_t} \mathrm{d}S_t - \frac{1}{2 S_t^2} \sigma^2 S_t^2 \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} - \frac{1}{2}\sigma^2 \mathrm{d} t\,.

Einsetzen der Differentialgleichung liefert

\mathrm{d}X_t = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t\,,

also

\log(S_t) = \log(S_0) + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\,.

Exponentiation ergibt die in der Definition angegebene Formel.

Eine andere Möglichkeit, die Lösung zu bestimmen, ist die Verwendung des stochastischen Exponentials: Mit Z_t = \mu t + \sigma W_t gilt S_t = \mathcal{E}(Z)_t.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Insbesondere gilt also \mathrm{Var}(S_t)=a^2 \mathrm{e}^{2\mu t}(\mathrm{e}^{\sigma^2 t}-1) .
  • Die geometrische brownsche Bewegung hat unabhängige multiplikative Zuwächse, d. h., für alle  0\le t_1 \le t_2\le  \ldots \le t_n sind
 S_{t_1},\frac{S_{t_2}}{S_{t_1}}, \ldots ,\frac{S_{t_n}}{S_{t_{n-1}}} unabhängig.

Anwendung[Bearbeiten]

Im Black-Scholes-Modell, dem einfachsten und am weitesten verbreiteten (zeitstetigen) finanzmathematischen Modell zur Bewertung von Optionen, wird die geometrische brownsche Bewegung als Näherung für den Preisprozess eines Underlying (z. B. einer Aktie) herangezogen. Dazu führte die vereinfachende Annahme, dass die prozentuale Rendite über disjunkte Zeitintervalle unabhängig und normalverteilt ist. µ spielt hier die Rolle des risikofreien Zinssatzes, σ repräsentiert das Schwankungsrisiko an der Börse. Die oben erwähnte Martingaleigenschaft spielt hier eine zentrale Rolle.

Literatur[Bearbeiten]

  • Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, 2003, ISBN 3540047581.
  • Steven E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer, 2004, ISBN 0387401016.

Weblinks[Bearbeiten]