Gerade und ungerade Funktionen

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Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt in der Mathematik gerade Funktion, wenn f(x) = f(-x)\, gilt. Ist die Funktion reell handelt es sich um Achsensymmetrie zur y-Achse.

f(x) = x2 - Beispiel für eine gerade Funktion: Die Normalparabel

Beispiele gerader Funktionen sind

  • |x|\,, x^2\,, \cos\,x, \mathrm{cosh}\,x

Gerade Funktionen können keine Bijektion darstellen.


Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt ungerade Funktion, wenn f(-x) = -f(x)\, gilt. Im reellen Fall handelt es sich um die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.

Beispiele ungerader Funktionen sind

  • x\,, x^3\,

und andere Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

  • \sin\, x, \frac{1}{x}, \mathrm{sinh}\,x
f(x) = x3 - Beispiel für eine ungerade Funktion

Ist f eine ungerade Funktion, und ist 0\in D, so gilt f(0) = 0. Die Funktion f(x) = 1 / x ist ein Beispiel einer ungeraden Funktion, die für x = 0 nicht definiert ist.

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Funktion, die konstant 0 ist.

[Bearbeiten] Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen

  • Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
  • Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
  • Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
  • Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
  • Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
  • Die Komposition einer beliebigen Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade.
  • Die Komposition einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist gerade.
  • Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.
  • Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.
  • Die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
  • Die Fourier-Reihe einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Kosinus- (Sinus-) Terme.
  • Die Quadratwurzel einer geraden Funktion ist stets gerade, denn es gilt \sqrt{f(x)^2} = |f(x)|, und die Betragsfunktion ist gerade.
  • Eine beliebige Funktion lässt sich als Summe einer geraden und ungeraden Funktion wie folgt schreiben:
f(x)=f_\mathrm{g}(x)+f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}, mit
f_\mathrm{g}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} dem geraden Anteil der Funktion f(x) und
f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} dem ungeraden Anteil der Funktion f(x).
  • Berechnet man das bestimmte Integral einer ungeraden Funktion, wobei die Grenzen symmetrisch um Null liegen, ergibt sich Null: \int_{-a}^{a} f(x) dx=0
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen“
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