Gerade und ungerade Zahlen

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In der Mathematik kann eine Aufteilung der Menge der ganzen Zahlen in disjunkte und gleichmächtige Mengen wie folgt vorgenommen werden:

Eine ganze Zahl gehört zu den geraden Zahlen, wenn sie (ohne Rest) durch 2 teilbar ist. Gerade Zahlen sind

…, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, …

Sie sind das Doppelte einer ganzen Zahl (und haben also die Form 2k mit einer ganzen Zahl k).

Andererseits gehört eine ganze Zahl zu den ungeraden Zahlen, wenn sie nicht (ohne Rest) durch 2 teilbar ist. Ungerade Zahlen sind

…, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, …

Sie ergeben bei Division durch 2 den Rest 1 (und haben also die Form 2k + 1 mit einer ganzen Zahl k).

[Bearbeiten] Eigenschaften

• 2 ist die einzige gerade Primzahl. Vgl. den unübersetzbaren Ausspruch All primes are odd, but two is the oddest of all. (even und odd bedeutet bei Zahlen gerade bzw. ungerade, odd heißt aber auch „merkwürdig“.)
• Jede ganze Zahl kann (in eindeutiger Weise) als Produkt einer Potenz von 2 und einer ungeraden Zahl geschrieben werden (Ausnahme die Zahl 0):

(siehe Primfaktorzerlegung)

• Die bisher noch nicht bewiesene Goldbachsche Vermutung behauptet: Jede gerade Zahl größer als 2 ist Summe von zwei Primzahlen.

Beispiele:

• 16 = 5 + 11
• 50 = 19 + 31

Bisher sind zum Beweis der Behauptung nur viele Teilergebnisse erzielt worden.

• Alle bekannten vollkommenen Zahlen (6, 28, …) sind gerade. Es ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt.

[Bearbeiten] Rechenregeln

Die Einteilung der natürlichen Zahlen nach ihrer Parität ist das einfachste Beispiel für die Bildung von Kongruenzklassen (siehe Teilbarkeit).

Die (Merk-)Regeln

gerade + gerade und ungerade + ungerade ergeben gerade

gerade + ungerade und ungerade + gerade ergeben ungerade

sowie

gerade mal gerade, gerade mal ungerade und ungerade mal gerade ergeben gerade

ungerade mal ungerade ergibt ungerade

sind das einfachste Beispiel für einen endlichen Körper (hier mit nur zwei Elementen).

Schreibt man 0 für gerade und 1 für ungerade, so erhält man

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